Filozofija

Samoostvarivanje kroz duhovnu praksu (pdf)

U izlaganju koje sam pripremio usredotočio sam se na dva procesa: (1) jedan je kreiranje osobnog jastva — percepcija sebe, (2) drugi je stvaranje slike onoga što nas okružuje — percepcija univerzuma. Što se tiče kreiranja jastva slijedio sam joga i budističku duhovnu tradiciju kao i zaključke budističko-znanstvene radne grupe osnovane 2005. god. na poticaj Dalai Lame. Pojedini detalji tih rasprava mogu se naći u knjizi Waking, dreaming, being: new light on the self and consciousness from neuroscience, meditation, and philosophy (Thompson, 2015). ...
Spoznaja univerzuma na zapadu tradicionalno slijedi svoje kulturno naslijeđe od starih Grka pa sve do novije povijesti. Kamen spoticanja svih filozofskih pravaca i znanosti je prostor-vrijeme o kojem će također biti riječi. Svojevrstan apsolutizam materijalne misli prisutan je i dan danas, pogotovo u znanosti. Svjesnost, kao podloga našeg djelovanja i umovanja je van domašaja svih pokušaja da ju takva znanost "razumije". Taj procjep, nazvan tvrdi problem za svjesnost, podijelio je i teoretičare uma i neuroznanstvenike. Njemu će također biti posvećeno nekoliko riječi.
Posebno poglavlje posvećeno je francuskom filozofu Henriju Bergsonu, njegovoj holografskoj slici univerzuma i ulozi memorije u procesu percepcije. Iako slavan za svog života, svojevremeno je bio potpuno zaboravljen. Svojom robusnošću, njegova metafizika i dan danas odolijeva novim saznanjima u znanosti, neuroznanosti i psihologiji, a u svojoj univerzalnosti čini se ispred njih u razumijevanju svjesnosti.
U tekstu ćemo opisati i Thompsonovu ideju procesa kreiranja vlastite osobnosti u nešto skraćenom obliku (Thompson, 2015). Prema njemu, ona se dešava na tri razine — biološkoj, neurološko-psihološkoj i socijalnoj i tu osobnost možda je najbolje razumjeti kao samoorganizirajući ili autopoietički sustav. To je skup procesa koji se uzajamno određuju i podržavaju i čine prepoznatljiv sustav odvojen od svoje okoline.
Je li koncept jastva kao supstance kognitivna iluzija? — pitanje je koje se vjekovima postavlja. Ne, to je lažno uvjerenje (Descartes na zapadu i Nyāya škola iz indije) koje ima svoje utočište u filozofiji, a ne u svakodnevnom iskustvu. Pojava jastva kao nezavisnog je posve prirodna. Kad god percipiramo tok misli — subjekt iskustva (jastvo) se prirodno javlja kao nešto različito od toka misli, jer ono je baš to što jastvo jest — zavisni konstrukt samostalnog subjekta iskustva i djelovanja. Ono što razne filozofske škole nazivaju "prosvjetljenjem" ili "oslobođenjem" nije napuštanje "Ja" kreacije — to je buđenje u snu o samostalnom postojanju bez potrebe da se probudim iz snova (Thompson, 2015).
Od svih filozofskih pravaca i teoretičara Patanjali ima i prvu i posljednju pisanu riječ. Njegove Yoga sutre su najprecizniji i najjezgrovitiji tekst o stanjima uma ikad napisan, ali ga suvremena psihologija takvim ne doživljava. To je priručnik bez kojeg niti jedan aspirant na duhovnom putu ne može učiniti korak naprijed. Sutre odišu unutarnjom kohezijom i potpunošću i to nije priča za laku noć, one nam otkrivaju i nude objašnjenja u trenutku kad smo otvoreni i spremni prihvatiti ono što nam govore. read more

Od broja do svjesnosti (pdf)

Prostor nam je dan rođenjem,
vrijeme nam je dano mišljenjem. (Vede)
Ova Vedska izreka govori da su prostor, mišljenje i vrijeme početni uvjeti našeg putovanja. To je rečeno matematički sažeto, precizno i bez okolišanja. Ono što slijedi nakon toga nazivamo životom.
Pojmovi o kojima se raspravlja u ovom tekstu čine osnovu za razumijevanje našeg bivanja u ovom svijetu. Za njih smo čuli u školi i specijalističkim studijima nakon toga. Možda je najbolje da sve to što ste naučili zaboravite. U poimanju i opisivanju onoga što vidimo koristimo matematičke modele i nagađanja. Matematički modeli koriste simbole, nagađanja koriste riječi. Ono što nazivamo eksperimentom je pokušaj potvrde naših procjena, a matematika nam pomaže u predviđanju. Sve ostalo je interpretacija.
Filozofija je posljedica
nerazumijevanja jezika. (Wittgenstein)
Prostor i vrijeme su bazični koncepti ... koji omogućavaju da jedni drugima prenosimo slike (mentalne strukture) putem riječi. U osnovi prostora, vremena i riječi stoji broj, ako ništa drugo onda kao oblik vibracije. Drugim riječima, prostor, vrijeme i riječ su manifestacije vibracije putem broja. Broj je najapstraktniji pojam naše civilizacije. Brojevi imaju svoju strukturu, ali mi od toga, u svakodnevnom životu, razumijemo samo 2 + 2 = 4. Matematički modeli sami za sebe ne znače ništa bez interpretacije. Interpretacija im daje smisao, a za interpretaciju je potrebno proživljeno iskustvo. Kroz brojevne strukture dakle, iskustvo zapravo interpretira svoje vlastito postojanje. U ovom tekstu ima i povijesnih činjenica koje su revidirane našim današnjim iskustvom. Povijest se ne može ponoviti, ona se samo može ponovo prepričati. Isto tako je s bajkama. Svaka bajka, ponovno ispričana je nova bajka i zato bajke treba pričati, a ne čitati. Vaš život je bajka. Jednako tako možda ćete uočiti novu revolucionarnu ideju o kojoj do sada niste razmišljali, a možda je to samo nova vizija nečeg što činite svaki dan ili to vaš susjed radi od kada zna za sebe. Uživajte!
U raspravama i raznim argumentacijama često kažemo: Pomiješao si kruške i jabuke.
Što su kruške, što su jabuke, što znači (po)miješati i što je krivo ako sam ih (po)miješao? Ako na tržnici imaju istu cijenu, a vama je samo to bitno, onda ćete najvjerojatno kupiti malo jabuka i malo krušaka. Ako ih razlikujete onda ih razlikujete po nekoj kvaliteti. Ako ste ju imenovali to bolje, ali vi ste ti koji pridjeljujete objektima kvalitetu i po tome ih razlikujete. Postoji li ta kvaliteta prije vas ili ste je uočili u trenutku kad ste percipirali objekt? A da li biste percipirali objekt da nije bilo kvalitete? Ako i postoji odgovor na sva ova pitanja on je sigurno posljedica interakcije između vas kao promatrača i objekta.
A što je svjesnost? Jeste li svjesni da imam bradu i brkove? Kakve su boje? Jeste li svjesni 𝑋 -zrake koja je ušla u dvoranu ovaj tren i omela zvučnike? Zvučnici su reagirali, a vi niste. Gdje je svjesnost? Ima li položaj u prostoru i vremenu? Pokažite mi gestom gdje se nalazi? Je li to vaša osobna svjesnost? Vaša gesta je posljedica vašeg poimanja svjesnosti ovog trena. Ja sam mislio na percepciju, a vi ste mislili na Promatrača s velikim ’P’.
Svjesnost nije pojam koji je jednoznačan. Mi ljudi koristimo iste riječi ali se ne razumijemo. Ne razumijemo se jer namamo isto iskustvo. Ako želimo zajedno proučavati svjesnost onda je nužno da izmjenjujemo vlastita iskustva. Jedan od načina je da pijemo kavu na terasi i pričamo priče. To radimo od pamtivjeka. Za znanstveni pristup istraživanju svjesnosti potrebno je razviti tehniku generiranja individualnog (osobnog) iskustva koji je ponovljiv. Priručnik i upute za takvo nešto postoje, ali možda to niste znali jer vam mama i tata nisu na njih obratili pažnju. Nisu vam to rekli ni u školi, niti na fakultetu jer smatraju da to nije njihova dužnost. Ta uputstva postoje i ja ih imam u džepu. To su Joga sutre od Patanjalija (2. st. pne.) i možete ih smatrati priručnikom za preživljavanje u najširem smislu tog pojma.
Sanskritska riječ sūtra znači aforizam ili niz povezanih aforizama. Sūtra ne mora biti gramatički korektna, ona sa što manje riječi prenosi smislenu poruku. Patanjali to radi s takvom preciznošću da smisao njegovih sutri graniči s programerskim kôdom. Patanjali vam neće podilaziti i vabiti vas da krenete njegovim putem. On vam samo objašnjava i opisuje krajolik na tom putovanju da ne izgubite kompas i da shvatite gdje ste. Vaš je jedini zadatak biti na putu inače ništa nećete razumjeti. read more

Fizika

Prostor-vrijeme. Relativistička mehanika (relativnost.pdf)

Prostor i vrijeme su koncepti koji omogućavaju izražavanje promjena. Što se prostora tiče ta promjena se izražava u metrici i u tom smislu prostor je skup objekata zajedno s metrikom. U takvom prostoru objekti ne posjeduju osobnosti i kvalitete kako mi ljudi to nazivamo, a metrika služi kako bi kvantificirali njihovu različitost. Koncept vremena je složeniji. Promjene koje uočavamo na jednom objektu su niz sukcesivnih stanja i ta vrsta promjene je konceptualno različita od promjene položaja. Starenje je proces koji traje i to trajanje kao koncept je potpuno različit od promjene mjesta stanovanja. ...
Oblici trajanja vezani uz prostor organiziraju različite položaje tijela u niz sukcesivnih stanja, a naša osjetila ih doživljavaju kao gibanje. Specijalna gibanja koja se ponavljaju, gibanje Mjeseca oko Zemlje ili njihalo, nazivamo satom, koristimo za kvantitatino uspoređivanje sukcesije trajanja. U tom smislu je vrijeme fundamentalniji pojam od prostora. S druge strane, mehanika mjeri vrijeme putem odabranog gibanja (sata) i gledano na takav način vrijeme ne postoji bez prostora i gibanja u njemu. Metafizički gledano, vrijeme i prostor su dvije manifestacije istog koncepta koje su uzajamno povezane. Pitanje je što je to?
Newtonova mehanika zasnovana je na nezavisnosti prostora i vremena koje je Newton apsolutizirao, vjerojatno iz razloga da račun bude jednostavniji. On je uveo toliko novih koncepata da je morao razviti i matematičku strukturu kojom bi to izrazio. Jedini koji je bio na njegovoj razini u to vrijeme bio je Leibniz. Leibnizova kritika Newtonove mehanike polazi od koncepta prostora i vremena koji su za Newtona kontejneri u koje se smještavaju objekti i događaji, i koji postoje nezavisno od od njih. Koncept neoklasičnog prostora-vremena koji se javlja sedamdesetih godina prošlog stoljeća je samo dokaz da se klasična mehanika može zasnovati i bez nezavisnih prostora i vremena.
To je zakašnjela ideja jer prostor-vrijeme već postoji u specijalnoj teoriji relativnosti zahvaljujući Lorentzu, Poincaréu, Einsteinu i Minkowskom. Proboj iz klasične u relativističku ljusku napravila je svjetlost koju se iskoristilo kao posrednika u sinkronizaciji satova. Brzina širenja svjetlosti 𝑐 već je bila poznata i postala je maksimalna moguća brzina materijalnih tijela. Štoviše, brzina svjetlosti je konstanta neovisna o promatraču, što je posljedica Michelson-Morleyevog eksperimenta.
Konstantnost brzine svjetlosti i Einsteinov princip sunkronizacije satova iz temelja su promijenili poimanje prostora i vremena i ujedinili ih u četvrodimenzionalnu afinu strukturu prostora Minkowskog s indefinitnom metrikom $$ds^2=(ct)^2-x^2,$$ a jednadžba \((ds)^2=0\) utjelovljuje konstantnost brzine svjetlosti u geometriju prostora.
Gravitacija je ostala neobjašnjena i netaknuta specijalnom teorijom relativnosti. Ali poveznica između gravitacije i ubrzanog homogenog polja postoji već kod Newtona u formi slabog principa ekvivalencije (Posljedica VI zakona gibanja Newtonove Principie). Einstein je u toj posljedici vidio ekvivalenciju homogenog gravitacijskog polja i ubrzanog sustava i postulirao jaki princip ekvivalencije koji gravitaciju lokalno uklapa u geometriju jedne općenitije strukture od prostora Minkowskog, a to je pseudo-Riemannov prostor, matematički koncept koji je već bio spreman prihvatiti Einsteinove ideje. Prva eksperimentalna potvrda opće teorije relativnosti dolazi od Eddingtona (1919) koji je izmjerio prividnu promjenu položaja dalekih zvijezda koje su za vrijeme pomrčine Sunca trebale biti, u klasičnoj slici, zaklonjene sunčevim diskom. Njihova vidljivost je omogućena, prema općoj teoriji relativnosti, zbog veće zakrivljenosti prostora u blizini veliki masa. Einsteinova teorijska predviđanja od 1.74800 (2015) i Eddingtonova mjerenja od dviju ekspedicija — 1.7200 ±0.1100 (Australia) i 1.9800 ±0.12 (Brazil) pokazuju prilično veliku podudarnost.
Na kraju svega nameće se pitanje mogu li se dva velika diva Newton i Einstein uspoređivati. Ako uspoređujemo njihov utjecaj na razvoj znanosti općenito onda je Newton zaslužniji. Osim toga Newton je prošao daleko trnovitiji put. Stvorio je nove koncepte i razvijao je matematički aparat kao rječnik za njihovo izražavanje. Einstein je već imao sve spremno. read more

Obrazovanje

Eksterna evaluacija. Nužnost ili zabluda. (pdf)

U tekstu se raspravlja o ciljevima, principima i metodama ocjenjivanja, posebno na javnim državnim ispitima (maturama). U engleskoj obrazovnoj literaturi te su rasprave oživjele, posebno nakon razvoja kompjutorske tehnologije. Iako pod jakim utjecajem ... psihometrijskih metoda i teorije, današnje mišljenje o tome što se mjeri ispitnom procedurom poprima drugačije dimenzije. Na kvalitetu ispitanika sve više se gleda kao na mentalni konstrukt promatrača (evaluatora) u procesu ’mjerenja’. Ona ne postoji izvan tog procesa. Cilj kvantitativnih procedura vrednovanja može i treba jedino služiti ocjenjivaču kako bi formirao svoju percepciju i prosudbu o ispitanikovim rezultatima tako da vrednovanje bude pravedno i konzistentno za sve ispitanike.
Donošenje odluke koja utječe na svakog pojedinca je mentalni proces koji se jako razlikuje od običnog ispitivanja podataka — to je proces normativnog mjerenja. Pri tome posebnu pažnju treba posvetiti profilima koji su na granici dviju ocjena. Testovi tih ispitanika uspored̄uju se u parovima i rangiraju, a zatim nagrade ocjenom. Metode višeatributnog odlučivanja osiguravaju pravedan i konzistentan postupak. read more

Agregacija ocjena (pdf)

Ocjena, u našem obrazovnom sustavu, predstavlja odraz učenikovog stupnja ovladanosti znanja iz nekog predmeta podučavanja i/ili vještina. Takva ocjena može se izraziti brojem na nekoj skali, obično je to skala 1–5 (1–6) ili vrijednošću na temperaturnoj ljestvici (1–100). Neki obrazovni sustavi, ruski na primjer, koriste uređene kategorijske vrijednosti A–F gdje je A najviša, a F najniža ocjena. Običaj je, barem u našem obrazovnom sustavu, ... ocjenjivanje na temperaturnoj ljestvici nazivati bodovanjem. Završna ocjena je ocjena nastala nekom procedurom agregiranja predmetnih ocjena, obično na polugodištu ili na kraju godine.
Iz gore rečenog proizlazi da termin ’ocjena’ nije jednoznačan, tj. značenje tog termina je kontekstualno ovisno. Ako se smatra da je ocjena ’mjera’ ovladavanja određenog gradiva, onda se tu implicitno podrazumijeva da ona mjeri učenika nekim ’metrom’. Taj ’metar’ bi trebao biti nepristran u smislu da bi svako (ponovljeno) mjerenje učenikovog znanja trebalo dati istu ocjenu. Prevedeno na svakodnevni obrazovni riječnik:

Svaki nastavnik koji ispituje (istog) učenika na temelju istog testa (ili druge provjere znanja) trebao bi mu dati istu ocjenu.

Takav metar u obrazovnom sustavu ne postoji iz jednostavnog razloga što je ocjena (1) subjektivna i (2) ne postoji zacrtana procedura donošenja ocjene koja bi osiguravala nepristranost. Ako mi ne vjerujete čitajte nacionalni kurikul(um).
U ovom tekstu djelomično ćemo se baviti konstrukcijom ocjenskog metra (skale) s posebnim naglaskom na metodu potencijala zasnovanu od autora, a opća teorija mjerenja nadilazi okvire ovog časopisa1 . Nećemo se baviti smislenošću i opravdanošću ocjenjivanja u obrazovnom sustavu; uzmimo kao gotovu činjenicu da se ocjene u školama donose i da će tako zasigurno biti još neko vrijeme. Pozabavit ćemo se agregacijom već postojećih ocjena koja je dovoljno zanimljiva sama po sebi, tim više što nastavnici to rade svakodnevno, svaki na svoj način. read more

Taksonomija znanja (pdf)

U ovom eseju raspravlja se o sistematizaciji i klasifikaciji znanja u kontekstu obrazovanja. Najpoznatija sistematizacija je ona Bloomova o kojoj se dosta pisalo u obrazovnoj literaturi ali bez konkretnih i praktičnih savjeta kako i na koji način ona može pomoći u ocjenjivanju. Ta sistematizacija je svojevrstan dogovor obrazovnih stručnjaka i teoretičara čiji je primarni cilj bio olakšati razmjenu informacija o rezultatima učenja (ispitivanja) među univerzitetima i školama u SAD. Napori grupe ljudi na čelu s Benjaminom S. Bloomom objavljeni su 1956. god., a reviziju te originalne taksonomije napravili su Anderson and Krathwohl (2001) koja se u literaturi naziva ... revidirana taksonomija.
Za razliku od originalne Bloomove taksonomije koja je po svojoj strukturi jednodomenzionalna, revidirana taksonomija povezuje kognitivne procese, kao jednu dimenziju i razine znanja kao drugu dimenziju spoznaje. I jedna i druga dimenzija izražavaju stupanj spoznaje, tj. stupanj spoznaje se reflektira u načinu na koji kreiramo svoje misli i u objektima koje ta misao obuhvaća (tablica 1). Na prvi pogled, predložena taksonomija je prirodna, prihvatljiva i zgodna zamisao ali bez nekih teorijskih osnova. Ona je prvenstveno praktična, ali nosi u sebi određene ideje koje nisu do kraja istražene.
Ovdje ćemo ići korak dalje i detaljnije analizirati nove mogućnosti koje ta tablica kao forma nosi u sebi. Ispitati ćemo koristnost tih ideja i u organizaciji nastave i njihovu primjenjivost u vrednovanju i samovrednovanju znanja studenata i učenika. U navedenoj klasifikaciji znanja javljaju se pojmovi kao što su: znanje, postignuća, kognitivni procesi, vještine. . . koji su neprecizni i nerazumljivi van konteksta i nose u sebi neke skrivene pretpostavke i uvjerenja. Bez obzira na to, statistička analiza subjektivnih postignuća, o kojoj će biti riječi, zahtijeva samo hijerarhijsko uređene predodžbe za svaku dimenziju u tablici znanja. Analiza pokazuje da su nazivi nezgrapno odabrani jer studenti, kao sudionici testa samospoznaje, ne razumiju značenje riječi kojima se tablica služi. Koji su razlozi tog nerazumijevanja je tema za sebe, jedan od razloga može biti u lošem prijevodu engleskih termina.
Moja osobni interes za taksonomiju pokrenut je idejom koju je vrijedilo ispitati, a to je da je u namjeru ’mjerenja nečega’ unešena dimenzionalnost i to već samom namjerom. O kontekstu ’mjerenja znanja’ to bi značilo da popunjavanje dvodimenzionalne taksonomske tablice nekim ciljevima ili brojevima skriva u sebi neku jednodimenzionalnu skalu, a mi ne znamo kako bi ju imenovali. U eseju se pokazuje da je tako i to na dva načina: (1) statističkom analizom korespodencije i (2) metodom potencijala.
Analiza korespodencije može se zamisliti kao uzajamna transformacija koordinata u prostorima određenim kategorijskim vrijednostima stupaca i redaka tablice. Ako je rezultat transformacije matrica bliska dijagonalnoj onda kategorijske vrijednosti korespondiraju.
Metoda potencijala je primarno prilagođena ulaznim podacima u formi grafa preferencija, a namjera joj je da iz parcijalnih usporedbi među nekim objektima odredi njihov prioritet. Ta se ideja može primijeniti i na tablične strukture u formi iterativnog procesa u kojem se isprepliću operatori mjerenja i baždarenja. Rezultati obiju analiza na uzorcima "taksonomskog testa" samospoznaje provedenim na Matematičkom odsjeku PMF-a u Zagrebu daju identične rezultate. Taksonomska tablica kao generator ocjene predstavlja pedagošku novost i zahtijeva daljnje istraživanje i provjeru u samom nastavnom procesu. Kad se usvoji, može olakšati ispitivanje i praćenje učenikovog napretka, a definitivno može zaustaviti eroziju petica našeg obrazovnog sustava i otkloniti stres kod ocjenjivanja učenicima, roditeljima i nastavnicima.
Ako je netko od čitatelja otvoren za suradnju, posjedujem razvijen softver za analizu koji se može mijenjati i nadograditi po potrebi. read more

Esej o decimalama (pdf)

Ovdje želim objasniti postupak dijeljena brojeva kojeg učimo u osnovnoj školi. Ne tvrdim da je to jedini mogući postupak, želim da ga djeca razumiju i uvježbaju. Ovaj tekst prvenstveno je namijenjen roditeljima kako bi mogli djeci objasniti gdje griješe i pomoći im da lakše savladaju gradivo. Kao roditelj, učitelj i matematičar razumijem da su djeca razočarana ako nešto ne razumiju jer time gube povjerenje u vlastite mogućnosti. Algebarske operacije s brojevima su danas nezaobilazne i s njima se susrećemo svakodnevno i u svim situacijama....
Razumijevanje postupka dijeljenja čini se da nadilazi kognitivne sposobnosti djece u 5. razredu osnovne škole. Od njih se zahtijeva da usvoje postupak dijeljenja pa makar i bez razumijevanja. Jedini način usvajanja postupka je vježbanje jednostavnih zadataka, a njih u udžbeniku ima zaista dovoljno. Neću pretjerati ako kažem da je 500 zadataka dovoljno za sticanje rutine. Koristan link s nadopunama, zadacima, primjerima i video zapisima je: Digitalni obrazovni sadržaji - e-Škole: edutorij. U polje za pretraživanje upišite "MATEMATIKA 5 - Modul 6" (s navodnicima).
U udžbenicima i dodatnim sadržajima ne objašnjava se zašto dijelimo tako kako dijelimo, objašnjava se tehnika, ali se ne potiče razumijevanje. Ovaj tekst namijenjen je nastavnicima, roditeljima i učenicima svih uzrasta koji žele razumijeti pozadinu računskih operacija. Ono što učenik 5. r. osnovne škole treba usvojiti je dio teksta oznaćen kao Skraćeni postupak. Sve ostalo je objašnjavanje zašto se to tako radi.
Dijeljenje decimalnih brojeva u osnovi koristi (1) dijeljenje prirodnih brojeva s ostatkom i (2) decimalni zapis broja. To je dijeljenje u dekatskom sustavu prilagođeno našim svakodnevnim civilizacijskim rutinama. Objasnit ćemo jedno i drugo i upoznati se s nazivljem (terminologijom). read more

Euklidska geometrija u školi (pdf)

Ovaj tekst je prvenstveno namijenjen nastavnicima osnovne i srednje škole. U njemu se govori o zasnivanju euklidske geometrije, ali ne na način kako je to radio Euklid niti kako su to radili u 19. st. i kako to rade suvremeni tekstovi. Cilj mi je pojasniti osnovne građevinske elemente geometrije i njihove odnose iz više aspekata. Moderni, aksiomatski pristup geometriji preko vektorskih prostora je korektan ali ima jedan nedostatak. Za njegovo razumijevanje potrebno je predznanje koje nudi Euklid na uvjerljiv i intuitivan način. Euklidova geometrija u sebi nosi dvije isprepletene strukture. Jedna je pravčasta, sintetička struktura, a druga je metrička struktura u smislu mjerenja udaljenosti, površine i volumena i koja je već 2000 godina osnova mehaničke vizije svijeta....
Prva knjiga Euklidovih Elemenata nudi i jedno i drugo, a završava Pitagorinim poučkom kao centralnom temom. Taj prvi dio ujedno obrazlaže i invarijantnost uvedenih pojmova i konstrukcija na transformacije kao što su translacija, rotacija i eventualno simetrija, Euklid to naziva kongruencija. Grubo rečeno to su transformacije koje čuvaju oblik i veličinu.
Riječnik kojim Euklid iznosi svoje tvrdnje je jezik omjera (proporcija) numeričkih i geometrijskih veličina koji se zadržao kroz cijeli srednji vijek sve do Newtona, a čak i u njegovoj Principii. Ponekad ga je teško odmah razumjeti, ali je Eulid svoje izlaganje organizirao u jednostavne i razumljive propozicije. Moderni udžbenici geometrije za osnovnu školu imaju tendenciju slijediti Euklidov stil koji je zahtjevan za nedovoljno razvijene kognitivne sposobnosti djece te dobi. Osmisliti dobar kurikul iz geometrije u osnovnoj školi je pravi izazov, a izvoditi ga još je zahtjevnije. Dobar nastavnik je pravi virtuoz u osluškivanju dječjeg geometrijskog bila i uvijek je spreman iz rukava osmisliti zanimljivo i korektno objašnjenje na način da se klinci ne osjećaju prevarenima.
Takvih prevara ima i u današnjim udžbenicima i na neke od njih je upozoreno u tekstu. One nisu prisutne od jučer niti samo u hrvatskim udžbenicima. Imao sam priliku predavati ovo gradivo u petom i šestom razredu osnovne škole i priznajem da su me djeca iznenadila svojim izuzetnim zapažanjima kod uvođenja novih pojmova. Na pitanje: Čemu služi šestar? jedno dijete je odgovorilo: Šestar pamti udaljenost. Svaki nastavnik bi na takvom odgovoru ostao bez riječi pa sam tako i ja.
Osim šestara, u nastavi i crtanju u stara dobra vremena, koristilo se i ravnalo. Ravnalo pamti relaciju trokuta u smislu da omogućava crtanje ravnih linija. Relacija trokuta je prvi susret s određenom metričkom karakteristikom mjerenja udaljenosti koja je stvar iskustvenog dogovora. Ovladavanje korištenja tih tehničkih pomagala i razumijevanje njihovih mogućnosti trebao bi biti prioritet u nastavi. Za to je potrebno vrijeme, a njihovo korištenje zahtijeva i fine motoričke sposobnosti koju mobitelska generacija čini se da nije u potpunosti razvila.
Na kraju su dani komentari jedne ankete o točki čiji su rezultati zanimljivi i otvaraju neka nova pitanja. read more