Skupovi ~ Uvod
"S" Zna~caj skupova za suvremenu matematiku je ogroman. Skupovi su prvi put u matemati~ckoj povijesti pru~zili zadovoljavaju~ti jezik na kojem se mo~ze pri~cati sva matematika. Naime, odavno je bilo jasno da je jedan od glavnih poslova matematike konceptualna generalizacija, odnosno svo~denje svega o ~cemu se pri~ca na ~sto manji broj osnovnih pojmova (a time i bespogovorno prihva~tenih pretpostavki o njima). No rijetko tko je mogao do prije otprilike jednog stolje~ta zamisliti ~citavu matematiku svedenu na samo jedan koncept, ideju skupa i njegovih elemenata.
P Brojevi (prirodni, cijeli, racionalni, realni, kompleksni), funkcije i relacije s precizno definiranim domenama, geometrijski objekti, vjerojatnosni prostori, Turingovi strojevi, pa i same logi~cke teorije mogu se shvatiti kao skupovi s precizno definiranim elementima. Sve se njihove formalne definicije daju raspisati do one osnovne fraze "skup ~ciji su elementi...".
"S" Kao posljedica toga, prirodno je o~cekivati da prou~cavanje skupova (ili bar nekih osnovnih stvari o njima) mo~ze pridonijeti boljem razumijevanju raznih matemati~ckih idej~a, pa ~temo se tako i mi u po~cetku na~seg bavljenja EMom dotaknuti skupova. Ne~temo napraviti gotovo ni~sta jako napredno iz teorije skupova, ve~t samo ono ~sto ~te nam trebati da bismo kasnije lak~se radili s brojevima i ostalim stvarima koje ~te nas zanimati.
"D" Na~zalost, upravo zbog silne univerzalnosti koju skupovi daju matematici, nemogu~te je je u okviru matematike dati strogu definiciju pojma "skup" (ba~s kao ~sto je nemogu~te, slu~ze~ti se samo ljudskim umom, u potpunosti shvatiti ljudski um). No mo~zemo poku~sati dati intuitivnu definiciju. Ovdje bi ona bila: objekt S sastavljen od drugih objekata (koji se zovu njegovi elementi), kojem je apstrahirano (ne zanima nas) sve osim ~cinjenice, za svaki pojedini objekt x, je li x element od S (ovdje pi~semo x@S) ili nije (naravno, tad pi~semo !(x@S)).
Na Sli~cnu vrstu apstrakcije smo ve~t vidjeli kod "definicije" suda, jer to je "re~cenica" od koje je apstrahirano sve osim ~cinjenice je li istinita (pi~semo T), ili nije (!T).
O Imena za skupove pi~su se unutar viti~castih zagrad~a ({ }). Ime za skup mo~ze biti:
  1. imena za sve njegove elemente, odvojena zarezima (P {1,4,8,9})
  2. ime neke varijable, odvojeno s ; (ili : ako je ta varijabla ve~t ograni~cena na neki skup) od nekog svojstva koje imaju svi elementi tog skupa i to~cno oni (P {x ; x@A V x@B}, {x@A : !(x@B)})
  3. imena za nekoliko istaknutih njegovih elemenata iz kojih se mogu deducirati svi ostali, razdvojena zarezima, nakon kojih slijedi ... (ili .... ako je skup beskona~can) (P {1,3,5,7,9,11,....}, {1,3,5,7,...,37})
  4. opis svih elemenata skupa rije~cima, pod navodnicima (P {"svi prosti prirodni brojevi"})
(1) je najsigurniji na~cin zadavanja skupa, ali, naravno, primjenjiv je samo na kona~cne skupove. (2;) je naj~ce~s~ti na~cin zadavanja beskona~cnih skupova, ali je mogu~te do~ti do ~cudnih paradoks~a koriste~ti ga (npr. Russellov paradoks dobiva se za R:={x ; !(x@x)}). (2:) je bolji od (2;), jer eliminira gore navedenu mogu~tnost paradoksa, ali za njega ve~t moramo imati neki skup A iz kojeg ~temo vaditi mogu~te vrijednosti za varijablu. (3...) je vrlo neprecizan na~cin, jer razli~citi ljudi razli~cito interpretiraju "nastavi niz"-pravila, a (3....) ~cesto jo~s neprecizniji. (4) ovisi o tome koliko su precizne Va~se rije~ci~:.
P Primjeri skupova: