Z={0,1,-1,2,-2,....}
, i njega ćemo često smatrati
univerzalnim skupom u ovom poglavlju. Pozitivni cijeli brojevi još
se zovu prirodni brojevi - skup svih njih označava se s
N={1,2,3,4,....}
. (A(k,l)@ZxN)(E!(q,r)@Zxl)(k=q*l+r)
D Broj q zovemo (cjelobrojni) kvocijent pri dijeljenju k sa l ,
i označavamo ga s
k div l
, dok broj r zovemo ostatak pri dijeljenju k sa l ,
i označavamo ga s k mod l
.
D Neka su k i l proizvoljni cijeli brojevi.
Kažemo da l dijeli k (ili da je k djeljiv s l , ali pazite na
redoslijed!), i pišemo l|k , ako postoji cijeli broj m takav da je
k=l*m .
l|k :<=> (Em@Z)(k=l*m)
P Slijede neki primjeri djeljivosti:
3|15
, jer postoji cijeli broj 5 takav da je 15=3*5 .
15(!|)3
, jer ne postoji cijeli broj m takav da je 3=15*m .
-2|4 & 2|-4
(m=-2)
8|8 & -5|-5
(m=1)
-3|-15 & -15(!|)-3
4|0 & 0|0
(m=0) - svaki broj dijeli nulu!
0(!|)4
, jer za svaki m , 0*m=0 , pa ne može biti 4 .
Nula ne dijeli nijedan broj osim nule!|:Z--Z
. Ispitajte njena svojstva.N Vidjeli smo da relacija djeljivosti na Z nije antisimetrična. No ako je restringiramo na N , tada jest antisimetrična. Zaista, k|l&l|k povlači k=ml&l=nk , odnosno mn=1 , što je u prirodnim brojevima moguće jedino ako je m=n=1 . Dakle, relacija djeljivosti na N je parcijalni uređaj. On nije totalan (niti 2 dijeli 3 niti 3 dijeli 2 , dakle 2 i 3 su neusporedivi s obzirom na taj uređaj), ali je sadržan u standardnom totalnom uređaju prirodnih brojeva <= (ako k|l , tada k<=l ).
Rj a) l=k*s i m=k*t za neke cijele brojeve s i t .
No tada je
l+m=k*s+k*t=k*(s+t) , a s+t je kao zbroj cijelih brojeva cijeli broj.
Dakle, k|l+m
Obrat ne vrijedi: Kp 2|1+1 , ali 2(!|)1 .
b) Trivijalno l|l*m . Sada tvrdnja slijedi iz
tranzitivnosti relacije | .
Obrat također ne vrijedi: 4|2*2 , ali 4(!|)2 .
Rj n3-n=n(n2-1)=n(n-1)(n+1) . To je produkt tri uzastopna cijela broja, dakle točno jedan od faktorā je uvijek djeljiv s 3 . Onda je i njihov produkt djeljiv s 3 . QED.
DZ Dokažite da je broj n5-n djeljiv s 5 za svaki prirodni n . Vrijedi li analogna tvrdnja za 7? 9? 11? Za koje prirodne brojeve k općenito vrijedi k|nk-n ?
Rj Prvo dokažimo da a+b dijeli a2 . To je lako, jer sigurno dijeli ab+b2=(a+b)b , pa dijeli i razliku toga i navedenog u zadatku. Sad, ako a+b|a2 , lako se dobije (a+b)2|a4 (samo napišemo definiciju djeljivosti, i kvadriramo jednakost). Također, zadatak je simetričan s obzirom na zamjenu a<=>b , pa jednako tako dobivamo da (a+b)2 dijeli i b4 . No tada dijeli i njihov zbroj. QED