Sadržaj:
1. Prvi problem o ortocentru
2. Drugi problem o ortocentru
3. Treći problem o ortocentru
4. Johnsonovi problemi s ortocentrom
5. Ortocentar na Internetu
6. Završne napomene
Literatura
Download
Ovo je neznatno proširena verzija dvaju
članaka iz Matematičko-fizičkog
lista istog naslova. U tim člancima
prikazuju se tri teorema o ortocentru iz knjige
"Trokut i kružnica" profesora Dominika
Palmana [8],
koji vrijede samo za šiljastokutne
trokute. Pokazuje se da za tupokutne trokute
treba izmijeniti jedan predznak u danim
formulama da bi one postale točne i u ovom
slučaju. Slične pogreške otkrivene
su u poznatoj Johnsonovoj knjizi "Advanced
Euclidean Geometry" [6] i u talijanskoj knjizi "Il
Problema Geometrico - Dal compasso al Cabri"
autora D'Ignazio i Suppa [5]. Nadopunjuje se i
rješenje profesora Marića [7] problema o
površini trokuta kome su poznate duljine
stranica njegovog ortičkog trokuta.
Završava se poboljšanjem nekih tvrdnji
o ortocentru iz nekih dokumenata na Internetu.
Ova verzija na mreži omogućava
provjeru svih tvrdnji u priloženim
Mathematica i Maple V bilježnicama (eng.
notebooks), a slike su u boji i
dinamičke jer su nacrtane u programu The
Geometer's Sketchpad.
1. Prvi problem o ortocentru
U knjizi "Trokut i kružnica" na 92.
stranici u teoremu 11.10 tvrdi se
sljedeće:
Teorem 1 (teorem 11.10 u [8]).
Neka su D, E i F ortogonalne
projekcije vrhova trokuta ABC na pravce
njegovih stranica BC,
CA i
AB
. Neka je
R radijus opisane kružnice tog
trokuta. Udaljenost |OH| između
njegovog središta opisane kružnice
O i ortocentra H dana je s
|OH|2 = R2 − 2 · |AH| · |HD|,
| (7a) |
|OH|2 = R2 − 2 · |BH| · |HE|,
| (7b) |
|OH|2 = R2 − 2 · |CH| · |HF|,
| (7c) |
ili s
|OH|2 = 9R2 − (a2 + b2 + c2).
| (8) |
|
Očito je da formule (7a), (7b) i (7c) nisu
ispravne jer bi iz njih slijedilo da
udaljenost |OH| ne može biti veća
od R (tj. da ortocentar trokuta uvijek
leži unutar njemu opisane kružnice),
što za tupokutne trokute ne vrijedi. U to
se možemo uvjeriti i tako da na
računalu u programu The Geometer's
Sketchpad (ili kratko GSP) nacrtamo trokut
ABC, točke D, E, F
(nožišta visina), središte opisane
kružnice O, ortocentar H,
odredimo sve dužine koje se pojavljuju u
gornjim formulama i izračunamo razlike
(npr. |OH|2 + 2 ·
|AH| · |HD| − R2).
Kada mičemo točke, nije točno da
su razlike uvijek jednake nuli. Čim je
trokut ABC tupokutan, dobivamo isti
pozitivan broj za sve tri razlike (vidi sliku 1).
Slika 1: Za tupokutan trokut ABC formule (7a) -
(7c) ne vrijede.
Pokušajte mišem pomicati točke
A, B i C !
Kako se izvući iz ovih poteškoća?
Moramo koristiti relativne mjerne brojeve
dužina umjesto njihovih duljina (vidi
stranicu 3 u [8]).
Ako je [AB]ℓ
oznaka za relativni mjerni broj dužine
AB na orijentiranom
pravcu ℓ, onda ispravljeni prvi dio teorema
11.10 iz [8] glasi ovako:
Teorem 2. (Popravljeni prvi dio teorema 11.10).
Za udaljenost |OH| između
središta opisane kružnice O i
ortocentra H trokuta ABC vrijedi
|OH|2 = R2 − 2 ·
[AH]AH · [HD]AH,
| (7a*) |
|OH|2 = R2 − 2 ·
[BH]BH · [HE]BH,
| (7b*) |
|OH|2 = R2 − 2 ·
[CH]CH · [HF]CH.
| (7c*) |
|
Da dokažemo teorem 2, prvo ćemo dokazati sljedeću lemu.
Lema 1.
(a) Kut pri vrhu C veći je od
90° onda i samo onda ako je točka
F između točaka A i
B i ortocentar H je izvan dužine
CF.
(b) Ako je kut pri vrhu C veći od
90°, onda točka D leži
između točaka A i H i
točka E leži između
točaka B i H.
|
Dokaz.
Odaberimo pravokutni koordinatni sustav tako
da je A(0, 0), B(r(f+g), 0) i
C((f 2−1)gr / (fg−1), 2fgr / (fg−1)). Parametri
f i g su kotangensi polovica kutova
A i B, a r je radijus
upisane kružnice trokuta ABC.
Primijetimo da su f, g i r
povezani s duljinama stranica a, b i
c ovako:
f =
|
(a + b + c) (b + c − a)
|
, |
4 S
|
g =
|
(a + b + c) (a − b + c)
|
, |
4 S
|
gdje je
S =
|
√
(a + b + c) (b + c − a)
(c + a − b) (a + b − c)
|
.
|
4
|
Obrnuto,
a = |
r f (g 2 + 1) |
, b = |
r g (f 2 + 1) |
, c = r (f + g). |
f g − 1 |
f g − 1 |
Ovakav odabir koordinata točaka i
način dokazivanja uz pomoć
računala, koji ćemo stalno koristiti,
detaljno su objašnjeni u sljedećim
člancima:
[2],
[3],
[4]
i [1].
(a) Koordinate točaka D, E,
F, H i O su:
(
|
4 g2 r(f + g)
|
,
|
2 g r(f + g)(g 2 − 1)
|
)
|
, |
(g2 + 1)2 |
(g2 + 1)2 |
(
|
r(f + g)(f 2 − 1)2
|
, |
2f r(f + g)(f 2 − 1)
|
)
|
, |
(f 2 + 1)2 |
(f 2 + 1)2 |
(
|
g r(f 2 − 1)
|
, 0 |
)
|
, |
f g − 1 |
(
|
g r(f 2 − 1)
| , |
r(f 2 − 1)(g 2 − 1)
|
)
|
, |
f g − 1 |
2 (f g − 1) |
(
|
r(f + g)
| , |
r(f + g + f g − 1)(f + g − f g + 1)
|
)
|
. |
2 |
4 (f g − 1) |
Odredimo realni broj w u kojem točka
F dijeli dužinu
AB.
Drugačije rečeno, treba odrediti broj
w tako da je
(xA + w xB) / (1 + w) = xF
i
(yA + w yB) / (1 + w) = yF
, gdje su xP i yP prva i druga koordinata
točke P. Dobije se
w = (b2 + c2 − a2)
/ (a2 + c2 − b2).
Slično se pokazuje da ortocentar H
dijeli dužinu CF u omjeru
v = |
2 c2(a2 + b2 − c2) |
. |
(b2 + c2 − a2)
(a2 + c2 − b2)
|
Ako je kut pri vrhu C veći od
90°, onda je broj
a2 + b2 − c2
negativan, a brojevi
b2 + c2 − a2 i
a2 + c2 − b2
su pozitivni. Dakle, broj w
je pozitivan i točka F leži
između A i B. S druge strane,
broj v je negativan pa je ortocentar
H izvan dužine
CF.
Obrnuto, ako točka F leži
između točaka A i B i
ortocentar H je izvan dužine
CF,
onda je w > 0 i v < 0,
što vodi do zaključka da je
a2 + b2 − c2 < 0 pa je kut pri vrhu
C veći od 90°.
(b) Ako je kut pri vrhu C veći od
90°, onda je broj
a2 + b2 − c2
negativan, a brojevi
b2 + c2 − a2
i
a2 + c2 − b2
su pozitivni. Budući da
točke D i E dijele dužine
AH
i BH u
pozitivnim omjerima
16 S 2 |
(c2 + a2 − b2)
(c2 − a2 − b2)
|
i
16 S 2 |
, |
(b2 + c2 − a2)
(c2 − a2 − b2)
|
zaključujemo da točka D leži
između A i H i da točka
E leži između B i H. □
Lema 2.
Ortocentar H je unutar kružnice opisane trokutu
ABC, na njoj ili izvan nje,
već prema tome je li taj trokut
šiljastokutan, pravokutan ili
tupokutan.
|
Dokaz.
Izračunamo li R2 − |OH|2,
dobivamo
(b2 + c2 − a2)
(c2 + a2 − b2)
(a2 + b2 − c2)
|
. |
16 S2
|
Dakle, ako je H
unutar opisane kružnice, onda je
R > |OH| pa je gornja razlika pozitivna,
što je moguće jedino ako su sve
tri zagrade u brojniku pozitivne, tj. ako
je ABC šiljastokutan. Obrat
očito također vrijedi.
Ako je H na opisanoj kružnici
(tj. R = |OH|), onda jedna od zagrada u
brojniku mora biti nula, što
znači da je trokut pravokutan. To
zaključivanje očigledno se
može i obrnuti.
I na kraju, ako je ortocentar H
izvan opisane kružnice, onda je
|OH| > R. Tada brojnik gornjeg izraza mora
biti negativan, što je moguće
jedino ako je jedna od njegovih zagrada
negativna, a ostale dvije su pozitivne.
Dakle, tada je trokut tupokutan.
Obrnuto, ako je trokut ABC
tupokutan,
samo jedna od zagrada je negativna, a
preostale dvije su pozitivne. Tada
je |OH| > R pa ortocentar H
leži izvan opisane kružnice. □
Dokaz teorema 2.
Neka pravac visine AH siječe
opisanu kružnicu, osim u točki A,
još i u točki D0.
Ako je trokut ABC šiljastokutan,
onda njegov ortocentar H leži unutar
opisane kružnice. Potencija
točke H s obzirom na tu opisanu
kružnicu iznosi
|AH| · |HD0| = R2 −
|OH|2. Kako
prema teoremu 11.1 u
[8]
vrijedi
|HD0| = 2 · |HD|, gornja jednakost
postaje
|AH| · 2 · |HD| = R2 −
|OH|2.
Stoga što u šiljastokutnom trokutu ortocentar H
leži na dužini AD, sada
vrijedi |AH| = [AH]AH i
|HD| = [HD]AH,
što odmah povlači relaciju (7a*).
Ako je trokut ABC pravokutan, onda se
ortocentar nalazi u jednom od vrhova i
dvije od točaka D, E i F
također su u tom vrhu, a središte
opisane kružnice je u polovištu
nasuprotne stranice i vrijedi |OH| = R.
Zbog toga
su produkti
2 · [AH]AH · [HD]AH,
2 · [BH]BH · [HE]BH i
2 · [CH]CH · [HF]CH jednaki
nuli i formule (7a*) - (7c*) vrijede.
Ako je trokut ABC tupokutan, onda je
ortocentar H izvan opisane
kružnice. Dakle, njegova potencija s
obzirom na opisanu kružnicu iznosi
|AH| · |HD0| = |OH|2 − R2. Kao i
malo prije za šiljastokutne trokute,
lijeva strana je 2 · |AH| ·
|HD|. S druge strane, prema lemi 1,
[AH]AH = |AH| i
[HD]AH = −|HD| pa opet dobivamo formulu
(7a*). Formule (7b*) i (7c*) dobivaju se
slično. □
Slika 2: Modificirana potencija točke u
odnosu na kružnicu.
Napomena. (a) Ovo je zapravo dokaz iz
Palmanove knjige, malo modificiran. No, ako
primijetimo da je uvijek
[AH]AH ·
[HD0]AH
= R2 − |OH|2,
(tj. da za
"modificiranu" potenciju točke X u
odnosu na kružnicu radijusa R sa
središtem u točki O na slici 2
uvijek vrijedi [NX]MN ·
[XM]MN
= R2 − |OX|2),
onda se Palmanov dokaz
može doslovno prepisati ovako:
[AH]AH ·
[HD0]AH
= R2 − |OH|2
i
[HD0]AH
= 2 · [HD]AH
(Teorem 11.1)
zajedno daju relaciju
(7a*) i to vrijedi bez obzira na kutove
trokuta ABC. Dakle, lema 1 nam nije
potrebna!
(b) Drugi način popravka prvog dijela
teorema 1 je da stavimo
| |HO|2 − R2|
|
= |AH| · |HD| =
|BH| · |HE| = |CH| · |HF|.
|
2
|
Mana tog oblika
je to što s njime nemamo eksplicitni izraz za
udaljenost |HO| ortocentra od
središta opisane kružnice.
(c) Uz pomoć računala lako se
može dokazati sljedeći djelomični
obrat formule iz (b). Za točku P
ravnine različitu od vrhova A,
B i C trokuta ABC, presjeke
pravaca AP, BP i CP redom s
pravcima BC, CA i AB
označavamo s aP, bP i cP.
Teorem 3.
Neka trokut ABC nije pravokutan. Njegov
ortocentar H je jedina točka P
ravnine različita od vrhova A, B
i C za koju vrijedi
| |PO|2 − R2|
|
= |AP| · |P aP|
= |BP| · |P bP| =
|CP| · |P cP|.
|
2
|
|
U prethodnom teoremu nije dovoljno tražiti
samo da je
|AP| · |P aP|
= |BP| · |P bP| =
|CP| · |P cP|
jer za
trokut u kojem je f = 2, g = 5,
r = 1 postoje čak tri točke različite
od ortocentra
H(5/3, 4) za koje vrijedi gornja
dvostruka jednakost.
Najjednostavnija takva točka je
(
|
256 + 20 m + 18 m2
|
, m
|
)
|
, |
33
|
za m = k/54 − 2129/(18k)
i k = (388800 +
3√45746138067)⅓.
2. Drugi problem o ortocentru
U sljedećem teoremu 11.11 iz knjige [8]
piše:
Teorem 4. (teorem 11.11 u [8])
Neka su D, E i F ortogonalne
projekcije vrhova trokuta ABC na pravce
njegovih stranica BC, CA i
AB. Neka je R radijus opisane
kružnice tog trokuta, a r radijus
njemu upisane kružnice. Udaljenost
|IH| između njegovog središta
upisane kružnice I i ortocentra
H dana je s
|IH|2 = 2 r2 − |AH| · |HD|,
| (9a) |
|IH|2 =
2 r2 − |BH| · |HE|,
| (9b) |
|IH|2 = 2 r2 − |CH| · |HF|.
| (9c) |
ili s
|IH|2 = 2 (r2 + 2 R2) − ½
(a2 + b2 + c2).
| (10) |
|
Očito je da formule (9a), (9b) i (9c) nisu
ispravne jer bi iz njih slijedilo da
udaljenost |IH| ne može biti veća
od r√2,
što za tupokutne
jednakokračne trokute kod kojih je
ortocentar udaljen od vrha tupog kuta za
više od r√2 ne vrijedi. U
to se možemo uvjeriti i tako da na
računalu u Geometer's Sketchpadu nacrtamo trokut
ABC, točke D, E, F,
zatim središte upisane kružnice
I i ortocentar H, a onda odredimo sve
dužine koje se pojavljuju u gornjim
formulama i izračunamo razlike (npr.
|IH|2 + |AH| · |HD| − 2 r2). Kada
pomičemo točke, nije točno da su te
razlike uvijek jednake nuli. Čim je trokut
ABC tupokutan, gornje razlike nisu nula,
već su sve tri jednake istom pozitivnom
broju (vidi sliku 3).
Slika 3: Ako
je kut A tup, formule (9a) - (9c) ne
vrijede.
Pokušajte mišem pomicati točke
A, B i C !
Ako se prisjetimo načina kako smo se
izvukli iz problema u prvom teoremu, dolazimo
na ideju da ispravak prvog dijela formuliramo
ovako:
Teorem 5. (Popravljeni prvi dio teorema
11.11 iz [8]).
Udaljenost |IH|
između središta upisane kružnice
I i ortocentra H trokuta ABC
dana je s
|IH|2 = 2 r2 −
[AH]AH · [HD]AH
| (9a*) |
|IH|2 =
2 r2 − [BH]BH · [HE]BH,
| (9b*) |
|IH|2 = 2 r2 −
[CH]CH · [HF]CH.
| (9c*) |
|
Dokaz teorema 5.
Po teoremu 2 imamo
[AH]AH · [HD]AH =
[BH]BH · [HE]BH =
= [CH]CH · [HF]CH =
|
R2 − |OH|2
|
. |
2
|
Dakle, dovoljno je pokazati
2 |IH|2 − |OH|2
+ R2 = 4 r2.
|
(*) |
Budući da (uz oznake kao u lemi 1) središte upisane
kružnice I ima koordinate
(fr, r), a koordinate središta
opisane kružnice O i ortocentra
H znamo iz dokaza prvog dijela leme
1, lako izračunamo, "pješke"
ili uz pomoć računala, da je
|IH|2 =
|
r2 M1
|
, |
4 (f g − 1)2
|
|OH|2 =
|
r2 M2
|
16 (f g − 1)2
|
i
R2 =
|
r2 M3
|
,
|
16 (f g − 1)2
|
gdje su M1, M2 i
M3
polinomi f 4g4 −
2f 4g2 −
4f 3g3 −
2f 2g4 +
f 4 + 4f 3g +
12f 2g2 +
4fg3 + g4 −
2f 2 − 20fg − 2g2
+ 9,
9 + 9f 4g4 −
14f 4g2 −
32f 3g3 +
9f 4 −
14f 2g4 +
32f 3g +
36f 2g2 +
32fg3 + 9g4 −
14f 2 − 32fg −
14g2
i
(f 2 + 1)2(g2 +
1)2.
Jednakost (*) je posljedica relacije
8 M1 − M2 +
M3 = 64 (f g − 1)2
koju lako dokazujemo jer se radi o jednostavnim
operacijama s polinomima. □
Napomena. (a) Drugi način
popravka prvog dijela teorema 4 je da stavimo
| |HI|2 − 2r2| =
|AH| · |HD| =
|BH| · |HE| =
|CH| · |HF|.
Loša strana tog oblika je to što nemamo eksplicitni izraz za
udaljenost |HI| ortocentra od
središta upisane kružnice.
(b) Na računalu se lako dokazuje ovaj
obrat formule iz (a). Za pojašnjenje
oznaka aP, bP i cP vidi
napomenu iza dokaza teorema 2.
Teorem 6.
Ortocentar H je jedina točka P
ravnine trokuta ABC za koju vrijedi
trostruka jednakost
| |PI|2 − 2r2| =
|AP| · |P aP| =
|BP| · |P bP| =
|CP| · |P cP|.
|
3. Treći problem o ortocentru
I naredni Teorem 11.12 knjige [8] ima
slične poteškoće. U njemu se tvrdi
sljedeće:
Teorem 7 (teorem 11.12 u [8]).
Zbroj udaljenosti ortocentra H od vrhova
danog trokuta ABC jednak je dvostrukom
zbroju promjera opisane i upisane kružnice
toga trokuta,
|HA| + |HB| + |HC| = 2 (R + r).
|
(11)
|
Zbroj udaljenosti središta O opisane
kružnice od stranica danog trokuta
ABC (tj. do točaka A', B'
i C' koje su polovišta stranica)
jednaka je zbroju polumjera opisane i upisane
kružnice,
|OA'| + |OB'| + |OC'| = R + r.
|
(12)
|
|
Prvi dio iskaza teorema sadrži
pogrešku jer je promjer kružnice
jednak dvostrukom njezinom polumjeru. Dakle,
trebalo bi zapravo reći: "…jednak je
zbroju promjera opisane i upisane kružnice
tog trokuta" (tj. treba izbaciti riječ
"dvostrukom"). Pogrešna tvrdnja
izražena formulom (12) dana je u knjizi
[8] pod nazivom Carnotov teorem već
ranije na 78. stranici.
Ako na računalu u Geometer's Sketchpadu nacrtamo trokut
ABC, središta I i O
upisane i opisane kružnice, ortocentar
H, odredimo sve dužine koje se
pojavljuju u formuli (11) i izračunamo
razliku
|HA| + |HB| + |HC| − 2 (R + r),
vidimo da ona nije uvijek jednaka nuli kada mičemo točke. Čim je trokut
ABC tupokutan, gornja razlika je različita od nule (vidi sliku 4).
Slika 4: Ako
je kut C tup, formula (11) ne vrijedi, ali
vrijedi jednakost |HA| + |HB| − |HC| =
2(R + r).
Pokušajte mišem pomicati točke
A, B i C !
Promotrimo li malo pažljivije dobivene
brojeve u slučaju da je neki kut tup,
vidimo da gornju razliku treba smanjiti,
što nas navodi na ideju da ispravak
formuliramo ovako:
Teorem 8. (Popravljeni teorem 11.12 iz
[8]).
(a) Trokut ABC nije tupokutan onda i
samo onda ako je zbroj udaljenosti ortocentra
H od vrhova jednak zbroju promjera
opisane i upisane kružnice tog trokuta,
|HA| + |HB| + |HC| = 2 (R + r).
|
(11*)
|
(b) Trokut ABC nije tupokutan onda i
samo onda ako je zbroj udaljenosti
središta opisane kružnice O od
polovišta stranica jednak zbroju polumjera
opisane i upisane kružnice tog trokuta,
|OA'| + |OB'| + |OC'| = R + r.
|
(12*)
|
(c) Trokut ABC nema šiljasti kut u
vrhu C onda i samo onda ako je
|HA| + |HB| − |HC| = 2 (R + r).
|
(11c)
|
(d) Trokut ABC nema šiljasti kut u
vrhu C onda i samo onda ako je
|OA'| + |OB'| − |OC'| = R + r.
|
(12c)
|
|
Dokaz teorema 8.
Kako u trokutu najviše jedan kut može
biti veći ili jednak kutu od 90°,
možemo pretpostaviti da su kutovi A
i B šiljasti. Zato u odabiru
koordinata pomoću veličina f,
g i r (kotangensi kuteva
A/2 i B/2 i
polumjer upisane kružnice) možemo
uzeti da je f > 1 i g > 1. Lako se
izračuna da je
|HA| =
|
r(f 2 − 1) (g2 + 1)
|
, |
2 (f g − 1)
|
|HB| =
|
r (f 2 + 1) (g2 − 1)
|
, |
2 (f g − 1)
|
|HC| =
|
r (f g + f + g − 1) |f g − f − g −1|
|
2 (f g − 1)
|
i
R =
|
r (f 2 + 1) (g2 + 1)
|
.
|
4 (f g − 1)
|
(a) Ako trokut ABC nije tupokutan, onda
je prema dolje dokazanoj lemi 3 udaljenost
|HC| jednaka
r (f g + f + g − 1) (f + g − f g + 1)
|
.
|
2 (f g − 1)
|
Sada se uvrštavanjem gornjih prikaza
lako provjeri da je
|HA| + |HB| + |HC| =
2(R + r).
Obrnuto, ako se u jednakost
|HA| + |HB| + |HC| =
2(R + r) za |HA|,
|HB| i R uvrste gornje vrijednosti i
riješi po |HC|, dobije se
|HC| =
|
r (g + f + f g − 1)
(f + g − f g + 1)
|
.
|
2 (f g − 1)
|
Usporedbom s gornjim izrazom za |HC|
vidimo da izraz fg − f − g − 1
nije pozitivan
pa prema lemi 3 slijedi da kut C nije
tup (tj. da trokut ABC nije tupokutan).
Budući da su zbog jednakosti
|AH| = 2 · |OA'|, |BH| = 2 · |OB'|
i |CH| = 2 · |OC'| (vidi teorem 11.5
u [8]) tvrdnje (b) i (d) očigledno
ekvivalentne tvrdnjama (a) i (c), mi ćemo
još samo dokazati tvrdnju (c).
(c) Ako kut C nije šiljast, onda je
prema lemi 3 udaljenost |HC| jednaka
r (f g + f + g − 1) (f g − f − g − 1)
|
.
|
2 (f g − 1)
|
Sada odmah slijedi |HA| + |HB| − |HC| = 2(R + r).
Obrnuto, ako se u jednakost
|HA| + |HB| − |HC| =
2(R + r) za |HA|,
|HB| i R uvrste gornje vrijednosti i
riješi po |HC|, dobije se
|HC| =
|
r (g + f + f g − 1)
(f g − f − g − 1)
|
.
|
2 (f g − 1)
|
Kako je
|HC| ≥ 0, vidimo da je
fg − f − g − 1 ≥ 0.
Ako je fg − f − g − 1 = 0,
onda je c2 = a2 + b2 pa je prema Pitagorinom teoremu
kut C pravi. Ako je
fg − f − g − 1 > 0,
onda prema lemi 3
slijedi da je kut C tup (tj. da je
trokut ABC tupokutan).
Dakle, u svakom slučaju, kut C nije
šiljast. □
Lema 3.
Trokut ABC ima tupi kut u vrhu C
onda i samo onda ako je izraz
ctg(A/2)·ctg(B/2) −
ctg(A/2) − ctg(B/2) − 1
pozitivan.
|
Dokaz. Gornji trigonometrijski izraz zapravo je
fg − f − g − 1
koji, kada se prikaže pomoću duljina stranica, postaje
c (4S + c2 − (a + b)2)
|
.
|
2 S (a + b − c)
|
To će biti pozitivno onda i samo onda ako
je 4S > (a + b + c) (a + b −
c). Kako je
4S = √
(a + b + c) (b + c − a)
(c + a − b)
(a + b − c),
vidimo da je gornji izraz pozitivan onda i samo onda
ako je c2 − a2 −
b2 > 0, što je očito
ekvivalentno s tvrdnjom da je kut C tup. □
4. Johnsonovi problemi s ortocentrom
Greška iz teorema 11.12 knjige [8]
pojavljuje se i u mnogo starijoj i u svijetu
poznatijoj knjizi Rogera A. Johnsona [6], gdje
je formula (12) na stranici 190
dana u tvrdnji f. i formula (11) na stranici
191 opet kao tvrdnja f. Na toj 191. stranici
ima još dosta pogrešaka pa
ćemo sada opisati kako ih popraviti.
Teorem 9.
(Popravak tvrdnje b. iz
[6] str.
191).
(a) Trokut ABC nije tupokutan onda i
samo onda ako je opseg njegovog
ortičkog trokuta DEF jednak
kvocijentu dvostruke površine i
polumjera opisane kružnice trokuta
ABC, tj.
|EF| + |FD| + |DE| = 2S/R.
(b) Kut C u trokutu ABC nije
šiljast onda i samo onda ako vrijedi
|EF| + |FD| − |DE | = 2S/R.
|
Dokaz.
Kao i u dokazu teorema 8, možemo uzeti
da je f > 1 i g > 1.
Lako se izračuna
|EF| =
|
r f (f 2 − 1) (g2 + 1)
|
, |
(f 2 + 1) (f g − 1)
|
|FD| =
|
r g (f 2 + 1) (g2 − 1)
|
,
|
(g2 + 1) (f g − 1)
|
|DE| =
|
r (f + g) (f g + f + g − 1)
|f g − f − g − 1|
|
(f 2 + 1) (g2 + 1)
|
i
S =
|
f g r2 (f + g)
|
.
|
f g − 1
|
(a) Ako trokut ABC nije tupokutan, onda
je prema lemi 3 duljina stranice |DE|
ortičkog trokuta jednaka
r (f + g) (f g + f + g − 1)
(f + g − f g + 1)
|
.
|
(f 2 + 1) (g2 + 1)
|
Sada se uvrštavanjem gornjih prikaza
lako provjeri da je
|EF| + |FD| + |DE| = 2S/R.
Obrnuto, ako se u jednakost
|EF| + |FD| + |DE| = 2S/R za
|EF|, |FD| R i S uvrste
gornje vrijednosti i riješi se po |DE|,
dobije se
|DE| =
|
r (f + g)
(g + f + f g − 1) (f + g − f g + 1)
|
.
|
(f 2 + 1) (g2 + 1)
|
Usporedbom s gornjim
izrazom za |DE| vidimo da izraz
fg − f − g − 1
nije pozitivan pa prema lemi 3 slijedi da kut C nije tup (tj. da trokut
ABC nije tupokutan).
(b) Ako kut C nije šiljast, prema
lemi 3 stranica |DE| je jednaka
r (f + g) (f g + f + g − 1)
(f g − f − g − 1)
|
.
|
(f 2 + 1)(g2 + 1)
|
Sada odmah slijedi
|EF| + |FD| − |DE| = 2S/R.
Obrnuto, ako se u jednakost
|EF| + |FD| − |DE| =
2S/R za
|EF|, |FD|, R i S uvrste
gornje vrijednosti i riješi se po |DE|,
dobije se
|DE| =
|
r (f + g)
(g + f + f g − 1) (f g − f − g − 1)
|
.
|
(f 2 + 1) (g2 + 1)
|
Kako je |DE| ≥ 0,
vrijedi fg − f − g − 1 ≥ 0.
Ako je fg − f − g − 1 = 0,
onda je c2 = a2 + b2,
pa je prema Pitagorinom teoremu kut C pravi.
Ako je fg − f − g − 1 > 0,
onda prema lemi 3 slijedi da je kut C tupi (tj. da je
trokut ABC tupokutan).
Dakle, u svakom slučaju, kut C nije
šiljast. □
Teorem 10.
(Popravak tvrdnje c. iz [6],
str. 191).
(a) Trokut ABC nije tupokutan onda i
samo onda ako je udaljenost nožišta
ortogonalnih projekcija točke D na
pravce CA i AB jednaka
polovici opsega njegovog ortičkog trokuta
DEF.
(b) Kut A u trokutu ABC nije
šiljast onda i samo onda ako je udaljenost
nožišta ortogonalnih projekcija
točke D na pravce CA i AB
jednaka
(|FD| + |DE| − |EF|)/2.
|
Teorem 11.
(Popravak tvrdnje d. iz [6], str. 191).
(a) Trokut ABC nije tupokutan onda i
samo onda ako je
|AD| · |BE|· |CF| =
S (|EF| + |FD| + |DE|)
(tj. produkt duljina visina tog
trokuta jednak je produktu njegove
površine i opsega njegovog ortičkog
trokuta DEF).
(b) Kut A u trokutu ABC nije
šiljast onda i samo onda ako je
|AD| · |BE| · |CF| =
S (|FD| + |DE| − |EF|).
|
U dijelu g. na stranici 191 u [6]
razmatra se polumjer ρ upisane
kružnice ortičkog trokuta DEF.
Prvo se tvrdi da je
ρ = |HD| cosA = 2R cosA cosB
cosC,
što očigledno nije istinito
kada je kut A tup jer je tada
cosA negativan.
Što je onda |HD| · |cosA| kada
je kut A tup? Taj produkt nije polumjer
upisane kružnice ortičkog trokuta
DEF, već polumjer ρa
njegove pripisane kružnice nasuprot vrha
D. Tada je vrh A središte
upisane kružnice trokuta DEF, a ne
ortocentar H (koji je to kada je kut
A šiljast i koji za tupi A prelazi
u središte njegove D-pripisane
kružnice).
Dalje se tvrdi da je
|AH| · |HD| = 2R ρ. Opet je to
točno samo kada trokut ABC nije
tupokutan. Ako je trokut ABC tupokutan,
onda je |AH| · |HD| = 2R ρa.
Slične tvrdnje vrijede za produkte
|BH| · |HE| i |CH| · |HF|.
Slijedi Johnsonova tvrdnja da je omjer
površina ortičkog trokuta DEF i
osnovnog trokuta ABC jednak
ρ/R. To isto vrijedi samo
za trokute koji nisu tupokutni. Ako je trokut
ABC tupokutan, taj omjer jednak je
ρa/R,
ρb/R ili
ρc/R, već prema tome
koji je kut trokuta ABC tup.
Interesantno je da istu pogrešku nalazimo
i u zadatku 52(c) na strani 273. talijanske
knjige [5]
iz 2001. godine, kada su
programi za dinamičku geometriju poput
Cabri, Cindarella i Geometer's Sketchpad
već dosta rasprostranjeni. I prethodni zadatak 52(b)
tamo pogrešno tvrdi da za sve trokute
vrijedi
|AH| · |AD| + |BH|
· |BE| + |CH| · |CF| =
|
a2 + b2 + c2
|
.
|
2
|
Ova formula je
također istinita samo za trokute koji nisu
tupokutni, a ako je, na primjer, kut C tup,
onda ona glasi:
|AH| · |AD| + |BH|
· |BE| − |CH| · |CF| =
|
a2 + b2 + c2
|
.
|
2
|
I na kraju, Johnson izvodi zaključak da je
a2 + b2 +
c2 = 8R2 + 4ρR.
Kao i gore, ta formula je istinita samo za trokute
koji nisu tupokutni. Ako trokut ABC ima
tupi kut, desna strana mora biti
8R2 − 4ρaR,
8R2 − 4ρbR
ili
8R2 − 4ρcR,
ovisno o tome koji je kut trokuta ABC tup.
Zatim dolazi tvrdnja h. koja glasi:
|AH|2 + |BH|2
+ |CH|2 = 4 R2 − 4 ρ R.
I ovdje je za tupokutne trokute desna strana
zapravo
4R2 + 4ρaR,
4R2 + 4ρbR ili
4R2 + 4ρcR, već prema tome
koji je kut trokuta ABC tup.
Postoji još jedan način kako ukloniti
neke od Johnsonovih poteškoća. Bolje
je s ρ označiti
(zajedničku) udaljenost ortocentra H
od pravaca EF, FD i DE. Onda
je ρ = |HD| ·
|cosA| = 2R ·
|cosA cosB cosC|,
|AH| · |HD| = 2Rρ i omjer
površina trokuta DEF i ABC
jednak
|DEF| / |ABC| = ρ/R,
bez ikakvih ograničenja na trokut
ABC.
Primijetimo da se nedavno u članku [7]
analizira rješavanje problema
određivanja površine trokuta ABC
kojemu ortički trokut DEF ima
stranice 13, 14 i 15. Izvodi se formula
|DEF|/|ABC| = ρ/R
i primjećuje da ona vrijedi jedino za
trokute koji nisu tupokutni. Posljednji
paragraf glasi ovako:
"Kod tupokutnog trokuta su nožišta dviju
visina, kao i ortocentar, izvan trokuta i
očito ništa od navedenog ne vrijedi
(jer smo u svim dokazima koristili da je
ortički trokut dio polaznog trokuta,
što sada nije). Može se pokazati da i
u ovom slučaju postoje zanimljivi odnosi
među elementima tih dvaju trokuta. Ali, o
tome možda drugom prigodom."
Nažalost, ne primjećuje se da tvrdnja
može biti istinita iako neka posebna
metoda njezinog dokazivanja nije provediva i da
navedene napomene o posebnosti tupokutnih
trokuta imaju za posljedicu da razmatrani
problem, pored rješenja
|ABC| = 1365/4, ima još tri
rješenja. To su |ABC| = 130,
|ABC| = 455/4 i
|ABC| = 195/2. Sva četiri
rješenja su prikazana na slici 5.
Slika 5: Četiri rješenja problema iz članka [7].
U programu Maple V naš dokaz prvo odredi
rješenje f = 2, g = 7/4 i
r = 4 sistema
13 =
|
r f (g2 + 1)
|
, |
f g − 1 |
14 =
|
r g(f 2 + 1)
|
, |
f g − 1 |
15 =
r (f + g)
i onda te vrijednosti uvrsti u koordinate
središta upisane kružnice I(fr, r)
i triju pripisanih kružnica
Ae
|
(
|
(f + g) f g r
|
,
|
(f + g) g r
|
)
|
, |
f g − 1
|
f g − 1
|
Be
|
(
|
r (f + g)
|
,
|
r (f + g) f
|
)
|
1 − f g
|
f g − 1
|
i Ce(gr, −fgr).
Na kraju, koristi se formula
(b − c) x + (c −
a) y + (a − b) z
|
2
|
za površinu trokuta
kojemu vrhovi imaju koordinate (x, a),
(y, b) i (z, c). Tražene
površine su
|AeBeCe| = 1365/4,
|IBeCe| = 130,
|AeICe| = 455/4 i
|AeBeI| = 195/2.
5. Ortocentar na Internetu
Ako na Internetu tražimo dokumente koji
sadrže riječ "Orthocenter" (engleski
za ortocentar), pojavljuje se više desetaka
tisuća mogućnosti. Neke od njih su iz
zubarstva, ali one iz matematike uglavnom
ponavljaju samu definiciju ortocentra kao
presjeka visina i/ili opisuju najjednostavnija
njegova svojstva.
Na primjer, na adresi
www.pballew.net/orthocen.html
autor ponavlja pogrešnu tvrdnju da je
opseg ortičkog trokuta
2S/R (vidi teorem 9).
Ugledna kolekcija sadržaja iz matematike MathWorld u
sklopu službene web stranice Wolfram Researcha (proizvođača
programa Mathematica), koju uređuje
Eric W. Weisstein, na adresi
mathworld.wolfram.com/Orthocenter.html
navodi neke od rezultata koje smo razmatrali,
ali samo uz pretpostavku da je promatrani
trokut šiljastokutan.
I na kraju,
Jim Wilson
daje dva rezultata o sumi omjera
nekih dužina vezanih uz ortocentar i
najavljuje da oni ovise o tome kakve kutove
ima trokut. Mi ih ovdje dajemo u
nešto poboljšanom obliku kao
sljedeća dva teorema. Dokaze
prepuštamo čitateljima za vježbu.
Teorem 12.
(a) Trokut ABC nije tupokutan onda i
samo onda ako je
|AH|
|
+
|
|BH|
|
+
|
|CH|
|
= 2.
|
|AD|
|
|BE|
|
|CF|
|
(b) Trokut ABC ima tupi kut u vrhu C
onda i samo onda ako je
|AH|
|
+
|
|BH|
|
−
|
|CH|
|
= 2.
|
|AD|
|
|BE|
|
|CF|
|
|
Teorem 13.
(a) Trokut ABC nije tupokutan onda i
samo onda ako je
|HD|
|
+
|
|HE|
|
+
|
|HF|
|
= 1.
|
|AD|
|
|BE|
|
|CF|
|
(b) Trokut ABC ima tupi kut u vrhu C
onda i samo onda ako je
|HF|
|
−
|
|HD|
|
−
|
|HE|
|
= 1.
|
|CF|
|
|AD|
|
|BE|
|
|
Wilson također spominje da zadnji teorem
ima poopćenje kada se promatraju omjeri
|PPa|/|AD|,
|PPb|/|BE| i
|PPc|/|CF|, gdje su Pa,
Pb i Pc nožišta okomica iz
točke P na pravce BC, CA
i AB. Naš sljedeći teorem
još je jedno poboljšanje u kojem ne
moramo imati okomice. U njegovoj formulaciji
koristimo sedam područja na koje tri
pravca koja nisu kopunktalna dijele ravninu
(vidi sliku 6).
Slika 6: Sedam područja ravnine
određenih trokutom ABC.
Teorem 14.
Neka točka P nije vrh trokuta
ABC, a pravci AP, BP i CP
sijeku pravce BC, CA i AB u
točkama U, V i W. Za
točku Q različitu od točke
P neka paralele kroz Q s pravcima
AP, BP i CP sijeku pravce
BC, CA i AB u točkama
X, Y i Z.
(a) Ako je točka Q u području
I, onda je
|QX|
|
+
|
|QY|
|
+
|
|QZ|
|
= 1.
|
|AU|
|
|BV|
|
|CW|
|
(b) Ako je točka Q u području
II, onda je
|QY|
|
+
|
|QZ|
|
−
|
|QX|
|
= 1.
|
|BV|
|
|CW|
|
|AU|
|
(c) Ako je točka Q u području
III, onda je
|QX|
|
−
|
|QY|
|
+
|
|QZ|
|
= 1.
|
|AU|
|
|BV|
|
|CW|
|
(d) Ako je točka Q u području
IV, onda je
|QX|
|
+
|
|QY|
|
−
|
|QZ|
|
= 1.
|
|AU|
|
|BV|
|
|CW|
|
(e) Ako je točka Q u području
V, onda je
|QX|
|
−
|
|QY|
|
−
|
|QZ|
|
= 1.
|
|AU|
|
|BV|
|
|CW|
|
(f) Ako je točka Q u području
VI, onda je
|QY|
|
−
|
|QZ|
|
−
|
|QX|
|
= 1.
|
|BV|
|
|CW|
|
|AU|
|
(g) Ako je točka Q u području
VII, onda je
|QZ|
|
−
|
|QX|
|
−
|
|QY|
|
= 1.
|
|CW|
|
|AU|
|
|BV|
|
|
Dokaz.
Ako trokut ABC ima koordinate vrhova
kao i u dokazu teorema 8 i ako je
P(p, q) i Q(u, v), onda je lako
naći koordinate točaka U, V,
W, X, Y i Z i izračunati
|QX|
|
=
|
|2 g u + (g2 − 1) v −
2 g r (f + g)|
|
,
|
|AU|
|
2 g r (f + g)
|
|QY|
|
=
|
|−2 f u + (f 2 − 1) v|
|
|BV|
|
2 f r (f + g)
|
i
|QZ|
|
=
|
v (f g − 1)
|
.
|
|CW|
|
2 f g r
|
Primijetite da
koordinati p i q točke P u tim
izrazima nema.
Budući
da su funkcije u brojnicima tih kvocijenata
jednadžbe pravaca stranica trokuta,
pažljivom analizom predznaka njihovih
vrijednosti lako se potvrđuju relacije
(a) - (g). □
6. Završne napomene
Poteškoće u teoremima 11.10, 11.11 i
11.12 iz [8]
otkrivene su na
predavanjima autora u sklopu kolegija
"Matematika računalom" na studiju
matematike na Prirodoslovno-matematičkom
fakultetu Sveučilišta u Zagrebu, gdje
studenti uče kako koristiti
računala u rješavanju matematičkih
problema. Poteškoće iz Johnsonove
knjige otkrivene su jednostavnom provjerom
što o sličnim temama pišu drugi
jer sam pretpostavljao da su pogreške
naslijeđene. Primjeri profesora
Marića i Wilsona pokazuju da tupokutni
trokuti ipak nisu zanemareni, iako su malo
problematičniji od šiljastokutnih i
pravokutnih trokuta.
Dakle, knjige i članke iz matematike (a
pogotovo iz geometrije) treba pažljivo
čitati i svaku tvrdnju detaljno
analizirati i po mogućnosti za svaku
nacrtati slike u nekom od programa za
dinamičku geometriju da se vidi kako se
tvrdnja ponaša za različite
položaje promatranih objekata.
Isto tako, knjige i članke pišu samo
ljudi pa je prirodno očekivati da ponekad
imaju grešaka.
Literatura
[1] |
M. Bator, Z. Čerin, M. Čulav,
Analitička geometrija ravnine
računalom, Matematičko-fizički
list (Zagreb), 54 (2003./2004.), br. 1, 23-31.
|
[2] |
Z. Čerin, S. Vlah, Rješavanje
zadataka računalom, Matka (Zagreb), 10
(2001./2002.), br. 39, 198-202.
|
[3] |
Z. Čerin, S. Vlah, Primjeri
upotrebe računala kod rješavanja
zadataka, Matematičko-fizički list
(Zagreb), 52 (2001./2002.), br. 4, 254-261
|
[4] |
Z. Čerin, S. Vlah, Još jedno
rješenje drugog zadatka na 42. MMO 2001
g., Matematičko-fizički list
(Zagreb), 53 (2002./2003.), br. 1, 55-56.
|
[5] |
I. D'Ignazio, E. Suppa, Il Problema
Geometrico - Dal compasso al Cabri,
Interlinea Editrice, Teramo, 2001.
|
[6] |
R. A. Johnson, Advanced
Euclidean Geometry,
Dover Publications, New York, 1960.
|
[7] |
Anđelko Marić, Analiza jednog
geometrijskog problema, Bilten seminara iz
matematike za nastavnike-mentore, 13.
državni susret, Trogir 5.- 8. svibnja
2004., HMD, 86 - 95.
|
[8] |
Dominik Palman, Trokut i kružnica,
Element, Zagreb 1994.
|
Download
1. Prvi problem o ortocentru
2. Drugi problem o ortocentru
3. Treći problem o ortocentru
4. Johnsonovi problemi s ortocentrom
5. Ortocentar na Internetu
6. Završne napomene
Literatura
Download
|