15. DRŽAVNO NATJECANJE MLADIH MATEMATIČARA REPUBLIKE HRVATSKE
Kraljevica, 26.-29. travnja 2006.
Zadaci za 4. razred - B kategorija
Niz (an) zadan je rekurzivno:
a0 = 0, an = n + an-1, n∈N.
Kojem broju je jednak a2006 ?
Dokaži da za svaki prirodan broj n vrijedi nejednakost
∑k=1n ( 1 / √k ) ≥ √n
Valjkasta posuda polumjera osnovke r = 4 cm i duljine visine
v = 16 cm napunjena je vodom. Odredi kut za koji treba nagnuti
posudu prema ravnini osnovke tako da iz nje iscuri četvrtina
vode.
Odredi tangens kuta koji zatvaraju zajedničke tangente
krivulja x² + 2 y² = 2 i y² = 4 x.
Između šest otoka uspostavljene su brodske veze.
Svaki par otoka povezan je ili trajektom ili katamaranom.
Dokaži da postoje tri otoka od kojih su svaka dva od njih
povezana istovrsnom brodskom vezom.