MATH.E     Hrvatski matematički elektronski časopis math.e
 
http://web.math.hr/mathe/

15. DRŽAVNO NATJECANJE MLADIH MATEMATIČARA REPUBLIKE HRVATSKE

Kraljevica, 26.-29. travnja 2006.


Zadaci za 2. razred - B kategorija

  1. Ako je  z = (1 + i )/√2, izračunajte zbroj 1 + z + z2 + z3 + … + z2006.

  2. Odredi koliko rješenja ima sustav jednadžbi   x ² - y ² = 0, ( x - a ) ² + y ² = 1, ovisno o vrijednosti realnog parametra a.

  3. Na dužini AB odabrana je točka M i zatim su s iste strane dužine AB konstruirani jednakostranični trokuti AMD i MBC. Dokaži da četverokut ABCD ima najmanju površinu ako je M polovište dužine AB.

  4. Neka su E i F točke na stranici AB pravokutnika ABCD takve da je | AE | = | EF |. Okomica na AB u točki E siječe dijagonalu AC u točki G, a dužine DF i BG sijeku se u točki H. Dokaži da su površine trokuta FBH i GHD jednake.

  5. Mogu li se bridovi tetraedra označiti brojevima 1, 2, 3, 4, 5 i 6 (svaki broj za točno jedan brid) tako da zbrojevi brojeva bridova na svakoj njegovoj strani budu međusobno jednaki?