15. DRŽAVNO NATJECANJE MLADIH MATEMATIČARA REPUBLIKE HRVATSKE
Kraljevica, 26.-29. travnja 2006.
Zadaci za 2. razred - B kategorija
Ako je z = (1 + i )/√2, izračunajte zbroj
1 + z + z2 + z3 + … + z2006.
Odredi koliko rješenja ima sustav jednadžbi
x ² - y ² = 0,
( x - a ) ² + y ² = 1,
ovisno o vrijednosti realnog parametra a.
Na dužini
AB
odabrana je točka M i zatim su s iste strane dužine
AB
konstruirani jednakostranični trokuti AMD i MBC. Dokaži da
četverokut ABCD ima najmanju površinu ako je M polovište dužine AB.
Neka su E i F točke na stranici AB
pravokutnika ABCD takve da je | AE | = | EF |.
Okomica na AB u točki E siječe dijagonalu AC u točki G, a dužine DF i BG sijeku se u
točki H. Dokaži da su površine trokuta FBH i GHD jednake.
Mogu li se bridovi tetraedra označiti brojevima 1, 2, 3,
4, 5 i 6 (svaki broj za točno jedan brid) tako da zbrojevi
brojeva bridova na svakoj njegovoj strani budu međusobno
jednaki?