15. DRŽAVNO NATJECANJE MLADIH MATEMATIČARA REPUBLIKE HRVATSKE
Kraljevica, 26.-29. travnja 2006.
Zadaci za 8. razred
Koji je veći od ova dva razlomka:
102005 + 1
ili
102006 + 1
?
102006 + 1
102007 + 1
Ako je
1
+
1
+
1
+
1
+
1
=
5
,
1+a
1+b
1+c
1+d
1+e
2
onda je
a
+
b
+
c
+
d
+
e
=
5
.
1+a
1+b
1+c
1+d
1+e
2
Dokaži !
Zbroj kvadrata bilo kojih 2006 uzastopnih prirodnih brojeva nije
kvadrat prirodnog broja. Dokaži !
Zadan je pravokutan trokut ABC s pravim kutom pri vrhu C
i neka je CD visina iz
vrha pravog kuta. Ako je s1 opseg trokuta
BCD, s2 opseg trokuta ADC,
te s opseg trokuta ABC, onda je
s²=s1² + s2².
Dokaži !
Zadan je konveksan četverokut ABCD i točke
K ∈ BD,
L ∈ BC,
M ∈ AD
takve da je KL‖DC i
MK‖AB. Ako
je |AB| = 72 cm i |DC| = 48 cm,
koliko mnogo međusobno različitih točaka dijagonale
BD možemo odabrati za točku
K tako da duljine dužina KL
i MK, izražene u centimetrima, budu
prirodni brojevi?