Hrvatski matematički elektronski časopis math.e | |
http://web.math.hr/mathe/ |
Rješenja zadataka i nagrađeni rješavatelji
Rješenje prvog zadatka
U prvom zadatku trebalo je naći "vjerojatnost" (tj. relativnu frekvenciju pojavljivanja) da je u Fibonaccijevom broju druga znamenka 4 puta veća od prve znamenke.Odgovor je log10435/392, što približno iznosi 0.0452.
Ovdje možete vidjeti kako je do rješenja došao Dino Sejdinović.
Nagrađeni rješavatelji prvog zadatka:
Ana Anušić (učenica 2. razreda, 1. gimnazija, Zagreb)Rješenje drugog zadatka
U drugom zadatku trebalo je odrediti vrijednost kuta φ za bradavice na Mandelbrotovom skupu čiji su periodi na slici označeni strelicama.Rješenja su:
2 --- 180°
3 --- 120°
4 --- 90°
5 --- 72°
6 --- 60°
5 --- 144°
7 --- (720/7)°
7 --- (1080/7)°
8 --- 135°
9 --- 160°
11 --- (1440/11)°
11 --- (1800/11)°.
Pravilo za bradavice označene plavim strelicama je vrlo jednostavno: φ = (360/n)°. Što se tiče bradavica označenih crvenim strelicama, uočimo najprije da lijevo i desno od svake takve bradavice imamo dva niza sve manjih i manjih bradavica. Npr. za bradavicu perioda 5, lijevi niz čine bradavice perioda 5,7,9,11,..., a desni niz bradavice perioda 5,8,11,... . No, ti se nizovi mogu nastaviti u "unatrag" sve dok se ne dodje do najvećih bradavica u nizovima ("lokalnih maksimuma"). Uzmačimo sa φl i φd kutove koji odgovaraju lokalnim maksimumima koji se nalaze lijevo, odnosno desno, od promatrane bradavice. Sada je pravilo
φ = φl - φl/n = φd + φd/n.
Npr. za bradavicu perioda 5, lijevi lokalni maksimum je bradavica perioda 2, a desni bradavica perioda 3. Stoga je pripadni kut jednak 180 - 180/5 = 120 + 120/5 = 144. Pogledajmo jos "desniju" od dvije bradavice perioda 11. Njezin lijevi lokalni maksimum je bradavica perioda 5, a desni bradavica perioda 3. Stoga je pripadni kut jednak 144 - 144/11 = 120 + 120/11 = 1440/11.
Nagrađena rješavateljica drugog zadatka:
Ana Anušić (učenica 2. razreda, 1. gimnazija, Zagreb)