Ovi zadaci postavljeni su u 6. broju math.e.
Nažalost do izlaska 8. broja nismo dobili nijedno
točno rješenje. Ovdje objavljujemo rješenja postavljenih zadataka.
Rješenje prvog zadatka
U prvom zadatku
trebalo je dokazati da u ravnini kojoj je svaka točka obojana jednom
od konačno mnogo boja postoji pravokutnik s jednako obojanim vrhovima.
Ovaj zadatak rješava se primjenom Dirichletovog principa.
Neka su točke ravnine obojane s ukupno n boja.
Promotrimo točke s koordinatama (i, j), za
i = 1, 2,...,M, j = 1,
2,...,N. Za čvrst j točke (1, j), (2, j),
..., (M, j) možemo obojati na nM
načina. Prema tome, ako je N > nM,
postoje indeksi j1 i j2 takvi
da su točke (i, j1) i (i, j2)
obojane istom bojom, za i = 1, 2,...,M. Ako je pak
M > n + 1 postoje indeksi
i1, i2 takvi da su točke
(i1, j1) i
(i2, j1) obojane istom bojom.
Tom su bojom obojane i točke (i1, j2) i
(i2, j2) pa za dovoljno velike
M i N dobivamo pravokutnik s jednako obojanim vrhovima.
Rješenje drugog zadatka
U drugom zadatku
trebalo je dokazati da se svaki dijadski razlomak (broj
oblika m/2n) može reprezentirati pomoću
igre Hackenbush s jednim stupcem. Trebalo je naći reprezentacije
brojeva 151/64 i 1/3.
Reprezentacija dijadskih razlomaka izgleda ovako:
- Predznak određuje boja segmenta koji dira tlo (plus ako je plavi, a minus
ako je crveni).
- Prvi par različito obojanih segmenata predstavlja decimalnu točku.
- Broj segmenata ispod "decimalne točke" predstavlja cjeli dio broja.
- Segmenti iznad "decimalne točke" određuju binarne decimalne znamenke: 1
ako se boja podudara s bojom prvog segmenta, a 0 ako se ne podudara.
Na kraju je potrebno još dopisati jednu dodatnu decimalnu znamenku 1.
Na primjer, razlomak 151/64 reprezentiran je lijevim Hackenbush stupcem na slici:
Za sve brojeve kojima decimalni zapis u bazi 2 nije konačan
potreban je Hackenbush stupac beskonačne duljine.
Na primjer, 1/3=(0.01010101...)2 pa njegova
Hackebush reprezentacija izgleda kao desni stupac na slici.
Na tlu je plavi segment, iznad njega dva crvena, a nakon
toga alterniraju plavi i crveni segmenti.
|