From: Vedran Cacic <veky@student.math.hr>
Newsgroups: hr.sci.matematika
Subject: Re: Moivreova formula
Date: Mon, 1 Mar 2004 20:36:27 +0000 (UTC)
Lines: 117
Message-ID: <slrnc477nd.8il.veky@student.math.hr>
References: <c1uvcu$mnd$1@ls219.htnet.hr>

On 2004-03-01, Nikola <ja_legenda@ri.hinet.hr> wrote:
> Zanima me dokaz ove formule. Ako netko ima neki link ili zna gdje ga mogu
> pronaci?

Ma kakav link, kakvi bakraci...
vrijeme je da vratim jedan stari dug... ;-)

Kao sto se vjerni pratitelji mojih lessona sjecaju:-), 
u "Taylor - x=2 i oko njega" , od 2004-01-19 ,
( http://cromath.math.hr/~veky/hsmath/L1/taylored.html , 
za one koji se zele prisjetiti:) objasnio sam jedan zgodan view na
Taylorove redove, i njihovu vezu s derivacijama. Izmedu ostalog,
u tom lessonu pisu i sljedeci reci:
	Pitanje kao uvod u neki sljedeci lesson: kako izgleda 
	McLaurinov red za sin , cos , exp 
	(hint: derivacije su lijepe)?
Vrijeme je da to raspilimo.

[lesson title="realna i imaginarna trigonometrija"]
Dakle, tamo smo dosli do formule
	Too(f)(x-c)=sum_{k:0~oo}(f^(k)(c)/k!*(x-c)^k) ,
odnosno Taylorov red funkcije f u tocki c je red potencija od x-c ,
ciji su koeficijenti uzastopne derivacije od f u c , podijeljeni s
odgovarajucim faktorijelama. McLaurinov red je Taylorov polinom
u 0 , i ako je funkcija analiticka na |R 
(sto sin,cos,exp jesu - prakticki po definiciji), vrijedi
	f(x)=sum_{k:0~}(f_k/k!*x^k) , gdje je f_k k-ta derivacija
                                        od f u nuli.
Za exp,cos,sin derivacije su lijepe (preciznije niz uzastopnih
derivacija je periodican), pa to mozemo iskoristiti za razvijanje tih
funkcija u red.

+exp : Znamo da je derivacija eksponencijalne funkcije ona sama,
exp'=exp , pa se tako odmah vidi da je _svaka_ derivacija 
eksponencijalne funkcije ona sama. e_k , k-ta derivacija od exp u 0 ,
ce tada biti jednaka exp u 0 , odnosno exp(0)=e^0=1 . Koeficijent uz
x^k u razvoju exp u red je time jednak 1/k! , odnosno
	exp(x)=sum_{k:0~}x^k/k! . Zgodna formula, zar ne? :-)
+sin : sin'=cos , a cos'=-sin , dakle uzastopne derivacije su redom
sin,cos,-sin,-cos, i onda opet sin i tako periodicki. s_k su tada 
vrijednosti tih funkcija u 0 , odnosno sin0,cos0,-sin0,-cos0 = 0,1,0,-1 .
Buduci da se koeficijenti periodicki ponavljaju (s periodom 4 ), a
ovi uz x^0 i x^2 su 0 , vidimo da ce uz sve parne potencije od x 
koeficijenti biti 0 , pa njih nece biti u razvoju. Prezivjet ce samo
one oblika x^(2k+1) , i uz njih ce stajati (-1)^k , podijeljen 
s faktorijelom eksponenta, odnosno (2k+1)! .
	sin x=sum_{k:0~}(-1)^k*x^(2k+1)/(2k+1)! 
+cos : Jos cos , ali to ce biti prilicno analogno. Niz je sada
cos,-sin,-cos,sin,.... , vrijednosti u 0 su c_k : 1,0,-1,0,.... ,
odnosno onih "neparnih" nema, a preostali imaju alternirajuce predznake.
	cos x=sum_{k:0~}(-1)^k*x^(2k)/(2k)! 

Eto. Sve to moze biti zgodno, ali mozemo i dalje. Cinjenica je da 
su ovi brojevi 1,0,-1,0 (za cos , i odgovarajuci 0,1,0,-1 za sin ), 
malo cudni za zapisati eksplicitnom lijepom formulom. 
Okej, nule smo maknuli, pa su nam ostali +-1 , i to smo
rijesili jednom formulom, (-1)^k . No npr. kod cos , definitivno
bode u oci to sto je -1 na k , a pored njega x na 2k (i sve ostalo
u tom clanu je vezano uz 2k ). Pa dobro, u nastupu genijalnosti.-)
sjetimo se da je i^2=-1 , odnosno -1 na k mozemo lukavo zapisati
kao i^(2k) . Odnosno, uz (paran) l:=2k ,
	cos x=sum_{l:0~oo;2|l}i^l*x^l/l!
Super. Sad nam jos samo smeta ovaj uvjet 2|l . Sto bi se dogodilo da
je l neparan? i^l bi tada bio cisto imaginaran broj, odnosno njegov
realni dio bi bio 0 . Nula... cek malo, to nam je poznato... to je
upravo ono sto zelimo da bude. Naravno, kod realnih brojeva, njihov
realni dio su oni sami, dakle lupivsi Re na cijelu stvar necemo nista
pokvariti, a maknut cemo uvjet 2|l .
	cos x=Re sum_{k:0~}i^k*x^k/k!
Za sin , stvar je prilicno slicna. Jednom kad uhvatimo pattern,
jasno je da se ovdje pojavljuju upravo imaginarni dijelovi od i^k :
i^neparno je +-i , upravo s onim predznakom s kojim treba, a i^parno
je realan broj, kojem je Im jednak 0 .
	sin x=Im sum_{k:0~}i^k*x^k/k!

Cek malo. Pa to je jedna te ista suma!
Pogledajmo je malo poblize. i^k*x^k je (ix)^k
(koliko god kompleksno potenciranje moglo biti cudno, ovo je samo
i*i*...*i*x*x*...*x , gdje ima k faktora i i k faktora x , pa je
jasno da ih mozemo rearanzirati u i*x*i*x*...*i*x , s k faktora 
jednakih i*x )
	sum_{k:0~}i^k*x^k/k!=sum_{k:0~}(ix)^k/k!
Ovo djeluje prilicno poznato, zar ne? :-) Pogled gore... to je
upravo exp(x) , samo s ix umjesto x , dakle exp(ix) .
Sad se pocinje rasplitati... gornje formule su
	cos x=Re e^(ix)
	sin x=Im e^(ix) ,
a kako je svaki kompleksan broj z jednak '
Re z + i * Im z (po definiciji Re i Im ), vrijedi
	e^(ix) = cos x + i * sin x ,
famozna Eulerova formula. (Desna strana se jos ponekad oznacava sa
cis x ("cis" kao "cos+i*sin").) (Kad smo vec tu, uvrstivsi x=pi i 
prebacivsi sve na lijevo, dobije se "najljepsa formula matha", 
	e ^ ( i * pi ) + 1 = 0
). A pomocu nje, koristeci osnovna svojstva eksponencijalne 
funkcije, lako se dobije de Moivreova formula.

Naime, u valjda prvom mom lessonu na ovoj grupi (kojeg trenutno
nemam pri ruci), dokazao sam e^(z1+z2)=e^z1*e^z2 za kompleksne
brojeve z1,2 , koristeci upravo gornju definiciju od exp (pomocu
McLaurinovog reda). Iz toga odmah, imajuci n istih pribrojnika ix ,
dobijemo
	e^(nix)=e^(ix+ix+...+ix)=e^(ix)*e^(ix)*...*e^(ix)=(e^(ix))^n .
Iskoristivsi Eulerovu formulu 
(na lijevoj strani za nx - naravno, nix=inx ; na desnoj za x ),
imamo
	cis nx=(cis x)^n
ili raspisanije
	cos nx+i*sin nx=(cos x+i*sin x)^n .
[/lesson]

Pitanja za razmisljanje: ovo je bilo za prirodni n . Sto mozete
reci o cjelobrojnim n ? Racionalnim (n-ti korijen, za pocetak)?
Realnim? Kompleksnim 8-o ? 

-- 
Veky		... mada mu nedostaje jedna zvjezdica u haremu ...