TEORIJA SKUPOVA

26. RUJNA 2007.

(1) Neka su A, B i C proizvoljni skupovi. Odredite odnos (ispitajte koje inkluzije vrijede, a koje ne) skupova

(A△B)\C i (A\C)△(B\C) .

Inkluzije koje vrijede dokažite, a za one koje ne vrijede nađite kontraprimjer.

(2) Koliko ima:

(a) intervalâ u ℝ kojima je duljina iracionalna?

(b) surjekcijâ sa ℂ na ℂ?

(3) Izračunajte

∑_{i∈ω^{2}+3} 2^{i} .

(4) Postoji li neprebrojiv lanac u P(ℚ) (neprebrojivo mnogo podskupova od ℚ, takvih da su svaka dva usporediva relacijom ⊆)? Navedite primjer, ili pak dokažite da je svaki lanac u P(ℚ) najviše prebrojiv.

(5) Za skup A ⊆ ℝ^{3} kažemo da je putovima povezan ako za svake dvije njegove točke x, y ∈ A, postoji neprekidna funkcija f : [0, 1] → A, takva da je f(0) = x ∧ f(1) = y. Neka je X ⊆ ℝ^{3} proizvoljan. Dokažite da postoji maksimalni putovima povezan podskup od X.

Rezultati: petak, 28. rujna, 16:00.

Vedran Čačić