(1) Skupovi su jednaki, što dokazujemo dokazujući obje inkluzije:

(a) Neka je x ∈ (A△B)\C proizvoljan. To znači da je x ∈ A△B i x ∉ C. Ovo prvo znači da je x u točno jednom od skupova A i B, pa bsomp x ∈ A ∧ x ∉ B. Iz x ∈ A i x ∉ C zaključujemo x ∈ A\C, a iz x ∉ B zaključujemo x ∉ B\C (jer je B ⊇ B\C). Dakle, x ∈ (A\C)\(B\C) ⊆ (A\C)△(B\C).

(b) Neka je x ∈ (A\C)△(B\C) proizvoljan. To znači da se x nalazi u točno jednom od skupova A\C i B\C, pa bsomp x ∈ A\C ∧x ∉ B\C. Dakle imamo x ∉ C, a i x ∈ A. Kada bi uz to još bilo x ∈ B, zbog x ∉ C imali bismo x ∈ B\C, što je kontradikcija. Zaključujemo x ∉ B, što zajedno s x ∈ A daje x ∈ A\B ⊆ A△B. To pak zajedno s x ∉ C daje x ∈ (A△B)\C.

(2) :

(a) Očito ih nema više nego svih intervalâ u ℝ, što je c kako smo pokazali na vježbama. Za drugu nejednakost, primijetimo da je funkcija x ↦ ⟨x, x + \sqrt{2}⟩ injekcija sa ℝ u skup čiji kardinalitet tražimo. Zaključujemo da ih ima točno c.

(b) Znamo da je ℝ ∼ ℂ, pa postoji neka bijekcija f : ℝ ↔ ℂ. Ako sada uzmemo proizvoljnu funkciju h : ℂ\ℝ → ℂ, funkcija h ∪ f će biti surjekcija (domene čine particiju od ℂ, a već je f surjekcija na ℂ). Također, pridruživanje h ↦ h∪f je injektivno (ako se dvije funkcije razlikuju, razlikovat će se i nakon što ih proširimo funkcijom f). Zaključujemo da je cardℂ^{ℂ\ℝ} = c^{c} = 2^{c} manji ili jednak traženom broju. S druge strane, svakako surjekcijâ s ℂ na ℂ ima manje ili jednako nego svih funkcijâ s ℂ u ℂ, što je također c^{c} = 2^{c}. Konačni zaključak: ima ih 2^{c}.

(3)

∑_{i∈ω^{2}+3} 2^{i} = ∑_{i∈ω^{2}} 2^{i} + 2^{ω^{2}} + 2^{ω^{2}+1} + 2^{ω^{2}+2} =

= (sup_{n∈ω} ∑_{i∈ω·n} 2^{i}) + 2^{ω^{2}} + 2^{ω^{2}} · 2 + 2^{ω^{2}} · 2 · 2 =

= sup_{n∈ω} (∑_{i∈ω} 2^{i} + ∑_{i∈ω} 2^{ω+i} + ⋯ + ∑_{i∈ω·n} 2^{ω·(n−1)+i}) + 2^{ω^{2}} · (1 + 2 + 2 · 2) =

= sup_{n∈ω} (ω + ∑_{i∈ω} 2^{ω} · 2^{i} + ⋯ + ∑_{i∈ω·n} (2^{ω})^{n−1} · 2^{i}) + 2^{ω·ω} · (1 + 2 + 4) =
= sup_{n∈ω} (ω + 2^{ω} · ω + ⋯ + ω^{n−1} · ω) + (2^{ω})^{ω} · 7 =
= sup_{n∈ω} (ω + ω^{2} + ⋯ + ω^{n}) + ω^{ω} · 7 =
= (sup_{n∈ω} ω^{n}) + ω^{ω} · 7 = ω^{ω} · (1 + 7) = ω^{ω} · 8 .

(4) Takav lanac postoji. Primjer je L := {⟨−∞, x⟩ ∩ ℚ|x ∈ ℝ}. Elementi od L su očito podskupovi od ℚ. Također je očito da x < y povlači ⟨−∞, x⟩ ⊆ ⟨−∞, y⟩, pa i ⟨−∞, x⟩ ∩ ℚ ⊆ ⟨−∞, y⟩ ∩ ℚ, odnosno svi elementi od L su usporedivi, pa je L lanac. Primijetimo da ako su x i y različiti realni brojevi, bsomp x < y, tada između x i y postoji neki racionalni broj q. To znači da je q ∈ ⟨−∞, y⟩ ∩ ℚ, ali q ∉ ⟨−∞, x⟩ ∩ ℚ, pa su ta dva skupa različita. Iz toga zaključujemo da elemenata od L ima koliko i realnih brojeva, dakle c — neprebrojivo.

(5) Označimo F := {A ⊆ X|A putovima povezan}. To je neprazan skup (kako je prazan skup putovima povezan, jer za svake dvije njegove točke vrijedi bilo što, imamo ∅ ∈ F), koji parcijalno uredimo relacijom ⊆. Ako je L ⊆ F proizvoljan lanac u F, njegova unija ⋃ L je svakako gornja međa za L. Također, kako su svi elementi lanca podskupovi od X, takva će biti i njihova unija. Treba još vidjeti da je ta unija putovima povezana. Uzmimo proizvoljne točke x, y ∈ ⋃ L. Po definiciji unije, postoje A, B ∈ L, dakle putovima povezani podskupovi od X, takvi da je x ∈ A ∧ y ∈ B. No kako je L lanac, njegovi elementi A i B su usporedivi, pa bsomp A ⊆ B. To znači da je x ∈ B, pa kako je i y ∈ B, postoji put f : [0, 1] → B koji povezuje x i y. Taj isti put f se može interpretirati i kao funkcija s kodomenom ⋃ L, jer je B ⊆ ⋃ L. To znači da su x i y povezani putom i kao točke od ⋃ L. Kako su x i y bile proizvoljne točke iz ⋃ L, zaključujemo da je ⋃ L putovima povezan skup.

Sve u svemu, vrijedi ⋃ L ∈ F, pa L (kao i svaki drugi lanac u F) ima gornju među u F. To znači da su ispunjeni uvjeti Zornove leme za F, pa postoji maksimalni element u F: drugim riječima, maksimalni putovima povezan podskup od X.

Napomena: zadatak se mogao riješiti i drugačije: definiramo relaciju na X, „biti povezane putom”. Tada se može provjeriti da je to relacija ekvivalencije, pa ako je x ∈ X proizvoljna, klasa ekvivalencije [x] je svakako maksimalni putovima povezan podskup od X. Ako x ne postoji, tada je X = ∅, pa je ∅ maksimalni (jedini) podskup od X, koji je uz to i putovima povezan.