Teorija skupova

15. rujna 2006.

(1) Koliko ima:

(a) kompleksnih brojeva čiji je modul racionalan?

(b) funkcijâ s ℝ u ℝ koje svaku vrijednost iz intervala ⟨0, 1⟩ poprimaju beskonačno mnogo putâ?

(2) Izračunajte

∑_{i∈ω+1} ∏_{j∈ω+1}(ω^{2} + ω · i + j) .

(3) Neka je A proizvoljan skup s bar dva elementa. Ispitajte odnos skupova (obje inkluzije) ⋃ ⋂ A i ⋂ ⋃ A. Obrazložite (dokazima ili kontraprimjerima)!

(4) Jesu li uredajni tipovi ω^{∗} + π · ω i π · ω^{∗} + ω jednaki ili različiti? Ako su jednaki, navedite sličnost izmedu nekih tako uredenih skupova, ili teorem o uredajnoj karakteristici na osnovu kojeg se jednakost može zaključiti. Ako su različiti, navedite neku invarijantu sličnosti po kojoj se razlikuju.

(5) Neka je S proizvoljni podskup od ℝ^{2}. Dokažite da postoji bar jedna konveksna skela od S: maksimalni konveksni podskup od S. Navedite primjer podskupa od ℝ^{2} za koji konveksna skela nije jedinstvena.

Rezultati: srijeda, 20. rujna 2006. u 12:00.

Vedran Čačić