TEORIJA SKUPOVA

3. RUJNA 2007.

(1) Neka su A, B i C proizvoljni skupovi. Odredite odnos (ispitajte koje inkluzije vrijede, a koje ne) skupova

A\(B△C) i (A\B)△(B\C) .

Inkluzije koje vrijede dokažite, a za one koje ne vrijede nađite kontraprimjer.

(2) Koliko ima:

(a) intervala u ℝ koji ne sadrže nijedan prirodan broj?

(b) skupova realnih funkcijâ realne varijable zatvorenih s obzirom na deriviranje (tj. skupova S ⊆ ℝ^{ℝ} takvih da za svaku f ∈ S vrijedi f′ ∈ S)?

(3) Izračunajte

∏_{i∈ω+2}(i^{2} + 1)^{i^{2}+1} .

(4) Dokažite ili opovrgnite tvrdnju: za sve podskupove A ⊆ ℝ i B ⊆ ℝ, ako su A i B međusobno slični (uređeni restrikcijom standardnog uređaja na ℝ), tada su i njihovi komplementi ℝ\A i ℝ\B također međusobno slični.

(5) Dokažite: svaki konačno povezan graf G ima razapinjuće stablo. (Razapinjuće stablo grafa (V, E) je povezan graf (V, F) bez ciklusâ, gdje je F ⊆ E. Graf (V, E) je konačno povezan ako za svaka dva njegova vrha postoji konačna staza koja ih spaja.)

Rezultati: četvrtak, 6. rujna, 12:00.

Vedran Čačić