Teorija skupova

4. rujna 2006.

(1) Koliko ima:

(a) podskupova od ℝ koji su ekvipotentni s ℝ?

(b) padajućih (ne strogo) nizova prirodnih brojeva?

(2) Izračunajte

∑_{i∈ω+3} (i · ω + ω · i) .

(3) Neka je A proizvoljan skup. Ispitajte odnos skupova (obje

inkluzije)

⋃ A^{2} i P(A)

(s A^{2} je označen Kartezijev kvadrat skupa A). Ako inkluzija vrijedi uvijek, ili ne vrijedi nikad, dokažite to. Ako inkluzija vrijedi samo za neke A, navedite primjer skupa za koji vrijedi, te primjer skupa za koji ne vrijedi.

(4) Neka je na skupu P(ω) zadana relacija

A ⊏ B :⟺ (∃n ∈ B \ A)(A ∩ n = B ∩ n) .

Dokažite da je (P(ω), ⊏ ) (irefleksivno) totalno ureden skup.

(5) Dokažite da postoji maksimalna algebra skupova na ℝ, koja ne sadrži ℚ kao element.

Podsjetnik: Algebra skupova na Ω je familija podskupova od Ω, F ⊆ P(Ω), koja ima svojstva

• ∅ ∈ F,

• A ∈ F ⇒ Ω \ A ∈ F, te

• A_{1}, A_{2}, …, A_{n} ∈ F ⇒ ⋃_{i=1}^{n} A_{i} ∈ F.

Rezultati: četvrtak, 7. rujna 2006. u 14:00.

Vedran Čačić