Teorija skupova

25. travnja 2006.

(1) Koliko ima:

(a) aritmetičkih nizova cijelih brojeva?

(b) neprekidnih funkcijâ s ℂ u ℂ?

(2) Izračunajte

∏_{j∈ω+1} ∑_{i∈ω} ω^{i+j} .

(3) Dokažite ili opovrgnite: ako je F familija nepraznih, disjunktnih, konačnih skupova, takva da je skup ⋃ F prebrojiv, tada je i sâma familija F prebrojiva..

(4) Koji od sljedećih skupova, uredenih antileksikografski, ima(ju) uredajni tip η:

ℕ × ℚ , ℚ × ℤ , ℝ × ℚ ?

Obrazložite odgovor za svaki od gornjih skupova.

(5) Za neprazan podskup B skupa ℝ, kažemo da je \underline{balansiran} ako za svaka dva broja x i y iz B, njihova aritmetička sredina \frac{x+y}{2} takoder leži u B. Dokažite da postoji maksimalan balansiran podskup od ℝ, disjunktan s ℚ. Za dodatnih 5 bodova: što možete reći o kardinalnosti takvog skupa?

Rezultati: četvrtak, 27. travnja 2006. u 14:00.

Vedran Čačić