Linearna algebra 1 – inž. fizike

10. veljače 2006.

(1) Odredite matricu X takvu da vrijedi

[ \begin{matrix}2 & −1 & 2 & 1 & 0 \\ −1 & 3 & 1 & 3 & 1 \\ 1 & −1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 1 \\ −5 & 1 & −1 & 2 & 2 \end{matrix} ] · X = [ \begin{matrix}1 \\ 2 \\ −1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} ] .

(2) Odredite determinantu matrice

A = [ \begin{matrix}2 & 5 & 3 & 1 & 4 \\ 1 & 0 & 4 & 8 & 1 \\ 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 4 & 4 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 4 & 2 \end{matrix} ] .

Što iz toga možete zaključiti o rangu matrice A?

(3) Odredite adjunktu matrice

[ \begin{matrix}8 & 1 & 6 \\ 3 & 5 & 7 \\ 4 & 9 & 2 \end{matrix} ] .

(4) Odredite ortogonalnu projekciju, i ortogonalnu komponentu, vektora (−2, −1, 0, 1, 2, 3) na vektor (0, 1, 0, 1, 0, 1) u ℝ^{6}.

(5) Je li skup

S := \{\frac{1}{3}(−2, 2, −1), \frac{1}{3}(2, 1, −2)\} ⊂ ℝ^{3}

ortonormiran? Ako nije, ortonormirajte ga. Ako pak jest, nadopunite ga do ortonormiranog skupa izvodnicâ za ℝ^{3}.

Linearna algebra 2 – inž. fizike

10. veljače 2006.

(1) Iz točke (−9, 0, 3) povucite okomicu (napišite njenu jednadžbu) na pravac jednadžbe \frac{x}{2} = \frac{y}{2} = z − 3.

(2) Zadane su dvije baze u ℝ^{2},

B := {(4, 3), (2, 1)} i C := {(2, 3), (0, −1)} .

Ako linearni operator f : ℝ^{2} → ℝ^{2} u paru bazâ (B, C) ima

matricu [ \begin{matrix}4 & 1 \\ −1 & 3 \end{matrix} ], odredite matricu operatora f u paru bazâ

(C, B).

(3) Riješite svojstveni problem (odredite svojstvene vrijednosti, njihove algebarske i geometrijske kratnosti, te baze za svojstvene potprostore) za matricu

[ \begin{matrix}3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 1 \end{matrix} ] .

(4) Neka je r preslikavanje na ℝ^{5}, koje uredenoj petorci realnih brojeva x = (a, b, c, d, e) pridruži zbroj petorke x i “obrnute” petorke (e, d, c, b, a). Dokažite da je r linearni operator, te mu nadite rang i defekt.

(5) Pomoću eksponencijalne funkcije matricâ riješite sustav diferencijalnih jednadžbî

y′_{1} + 3y_{1} = y′_{2} + 4y_{1} = 9y_{2} .