1  2  3  4  5  Σ

Matični broj

Ime i Prezime

Profesor Asistent

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2 – prvi kolokvij

26. travnja 2006.

1. a) Neka je ABCDA′B′C′D′ paralelepiped. Ako je T polovište dužine \overline{C′D′}, izrazite vektor \overrightarrow{AT} pomoću vektora \overrightarrow{BC}, \overrightarrow{DC} i \overrightarrow{BB′}.

b) Za koje vrijednosti parametara m, n ∈ ℝ su vektori (2, m + 1, m − 1) i (−1, n − 2, −2) kolinearni ?

c) Izračunajte mješoviti produkt (a⃗ × b⃗) · c⃗ vektora a⃗ = (1, 1, 1), b⃗ = (1, 2, 3) i c⃗ = (−1, −3, −6).

d) Napišite jednadžbu pravca kroz točku (1, 2, 1) koji je paralelan s pravcem

\frac{x − 4}{2} = \frac{y − 7}{13} = \frac{z − 2}{1}.

e) Pravci \frac{x − 1}{1} = \frac{y − 1}{2} = \frac{z − 1}{0} i \frac{x − 1}{1} = \frac{y − 1}{2} = \frac{z − 2}{0} su:

a) paralelni, ali različiti b) mimosmjerni c) sijeku se u točki d) isti.

2. Neka su a⃗, b⃗ i c⃗ vektori takvi da je c⃗ = a⃗ − 2b⃗, |a⃗| = 4, |b⃗| = 2, |c⃗| = 1.

Izračunajte  b⃗ · (a⃗ − c⃗) + \frac{1}{2} a⃗ · c⃗.

3. Neka je ABCD paralelogram, E polovište dužine \overline{AB}, F točka na stranici \overline{BC} takva da je 2|BF | = |F C|, te neka je G točka u kojoj se sijeku CE i DF. U kojem omjeru točka G dijeli dužine \overline{CE} i \overline{DF}?

4. Dane su ravnine

π_{1} … −x + y + 3z = 0
π_{2} … x + 9y − 3z = 0
π_{3} … x + 4y − 3z + 5 = 0.

Odredite medusobni položaj pravaca p_{1} = π_{1} ∩ π_{3} i p_{2} = π_{2} ∩ π_{3}. Ukoliko se oni sijeku, odredite njihovo sjecište; ukoliko se ne sijeku, odredite njihovu udaljenost.

5. Odredite jednadžbu pravca koji prolazi kroz točku (3, 2, 0), siječe pravac

\frac{x − 4}{3} = \frac{y + 3}{−4} = \frac{z − 3}{2} i okomit je na njega.

Prvi zadatak vrijedi 10 bodova (svaki dio po 2 boda), a ostali zadaci po 5 bodova. Nije dozvoljeno korištenje tablica s formulama, kalkulatora niti drugih pomagala. Vrijeme rješavanja je 120 minuta. Ovaj papir treba predati zajedno s rješenjima zadataka!

Ime i Prezime

Profesor Asistent

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2 – prvi kolokvij

26. travnja 2006.

1. a) Neka je ABCDA′B′C′D′ paralelepiped. Ako je T polovište dužine \overline{C′D}, izrazite vektor \overrightarrow{AT} pomoću vektora \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{DC} i \overrightarrow{CC′}.

b) Za koje vrijednosti parametara m, n ∈ ℝ su vektori (m+2, −4, n−5) i (m−1, 2, m+3) kolinearni ?

c) Izračunajte mješoviti produkt (a⃗ × b⃗) · c⃗ vektora a⃗ = (1, 4, −1), b⃗ = (2, 3, −2) i c⃗ = (−1, 1, 2).

d) Napišite jednadžbu pravca koji prolazi točkom (1, 2, 1) i okomit je na ravninu 7x + 5y + 14z = 0.

e) Pravci \frac{x − 1}{1} = \frac{y − 1}{0} = \frac{z − 1}{−1} i \frac{x − 1}{1} = \frac{y − 1}{2} = \frac{z − 1}{0} su:

a) paralelni, ali različiti b) mimosmjerni c) sijeku se u točki d) isti.

2. Neka su a⃗, b⃗ i c⃗ vektori takvi da je c⃗ = 2a⃗ − b⃗, |a⃗| = 1, |b⃗| = 2, |c⃗| = 3.

Izračunajte (2a⃗ − c⃗) · b⃗ + 2 a⃗ · c⃗.

3. Neka je ABCD paralelogram, E točka na stranici \overline{AB} takva da je |AE| = 2|EB|, F polovište dužine \overline{BC}, te neka je G točka u kojoj se sijeku CE i DF. U kojem omjeru točka G dijeli dužine \overline{CE} i \overline{DF}?

4. Dane su ravnine

π_{1} … 6x + y + 2z = 0
π_{2} … x + 2y + 4z = 0
π_{3} … 5x − y − 2z = 11.

Odredite medusobni položaj pravaca p_{1} = π_{1} ∩ π_{3} i p_{2} = π_{2} ∩ π_{3}. Ukoliko se oni sijeku, odredite njihovo sjecište; ukoliko se ne sijeku, odredite njihovu udaljenost.

5. Odredite jednadžbu pravca koji prolazi kroz točku (4, −1, 2), siječe pravac

\frac{x − 5}{2} = \frac{y − 7}{3} = \frac{z + 2}{−2} i okomit je na njega.

Prvi zadatak vrijedi 10 bodova (svaki dio po 2 boda), a ostali zadaci po 5 bodova. Nije dozvoljeno korištenje tablica s formulama, kalkulatora niti drugih pomagala. Vrijeme rješavanja je 120 minuta. Ovaj papir treba predati zajedno s rješenjima zadataka!

Ime i Prezime

Profesor Asistent

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2 – prvi kolokvij

26. travnja 2006.

1. a) Neka je ABCDA′B′C′D′ paralelepiped. Ako je T polovište dužine \overline{BC′}, izrazite vektor \overrightarrow{AT} pomoću vektora \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC} i \overrightarrow{CC′}.

b) Za koje vrijednosti parametara m, n ∈ ℝ su vektori (1, m, 3) i (−3, n − m, n − 5) kolinearni ?

c) Izračunajte mješoviti produkt (a⃗ × b⃗) · c⃗ vektora a⃗ = (3, 4, 5), b⃗ = (2, 1, −1) i c⃗ = (1, 3, 5).

d) Napišite jednadžbu ranvine kroz točku (1, 2, 1) koja je paralelna sa 7x+5y +14z = 0.

e) Pravci \frac{x − 1}{1} = \frac{y − 1}{1} = \frac{z − 1}{0} i \frac{x − 1}{1} = \frac{y − 2}{1} = \frac{z − 1}{0} su:

a) paralelni, ali različiti b) mimosmjerni c) sijeku se u točki d) isti.

2. Neka su a⃗, b⃗ i c⃗ vektori takvi da je a⃗ = 2b⃗ − c⃗, |a⃗| = 3, |b⃗| = 2, |c⃗| = 2.

Izračunajte (a⃗ + c⃗) · b⃗ − \frac{1}{2} a⃗ · c⃗.

3. Neka je ABCD paralelogram, E polovište dužine \overline{AB}, F točka na stranici \overline{BC} takva da je |BF | = 2|F C|, te neka je G točka u kojoj se sijeku DE i AF. U kojem omjeru točka G dijeli dužine \overline{DE} i \overline{AF}?

4. Dane su ravnine

π_{1} … −2x + y + 2z = 0
π_{2} … −2x + y + 3z = 0
π_{3} … 2x − y − z = 2.

Odredite medusobni položaj pravaca p_{1} = π_{1} ∩ π_{3} i p_{2} = π_{2} ∩ π_{3}. Ukoliko se oni sijeku, odredite njihovo sjecište; ukoliko se ne sijeku, odredite njihovu udaljenost.

5. Odredite jednadžbu pravca koji prolazi kroz točku (2, 1, −2), siječe pravac

\frac{x + 3}{4} = \frac{y − 4}{−3} = \frac{z + 2}{2} i okomit je na njega.

Prvi zadatak vrijedi 10 bodova (svaki dio po 2 boda), a ostali zadaci po 5 bodova. Nije dozvoljeno korištenje tablica s formulama, kalkulatora niti drugih pomagala. Vrijeme rješavanja je 120 minuta. Ovaj papir treba predati zajedno s rješenjima zadataka!

Ime i Prezime

Profesor Asistent

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2 – prvi kolokvij

26. travnja 2006.

1. a) Neka je ABCDA′B′C′D′ paralelepiped. Ako je T polovište dužine \overline{CC′}, izrazite vektor \overrightarrow{AT} pomoću vektora \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC} i \overrightarrow{DD′}.

b) Za koje vrijednosti parametara m, n ∈ ℝ su vektori (m + n, 1, −1) i (m + 5, −2, n) kolinearni ?

c) Izračunajte mješoviti produkt (a⃗ × b⃗) · c⃗ vektora a⃗ = (−2, 1, 2), b⃗ = (4, −2, 1) i c⃗ = (1, −1, 3).

d) Napišite jednadžbu ravnine kroz točku (1, 2, 1) koja je okomita na pravac

\frac{x − 4}{2} = \frac{y − 7}{13} = \frac{z − 2}{1}.

e) Pravci \frac{x − 2}{1} = \frac{y − 2}{1} = \frac{z − 2}{1} i \frac{x − 1}{2} = \frac{y − 1}{2} = \frac{z − 1}{2} su:

a) paralelni, ali različiti b) mimosmjerni c) sijeku se u točki d) isti.

2. Neka su a⃗, b⃗ i c⃗ vektori takvi da je b⃗ = a⃗ − 2c⃗, |a⃗| = 3, |b⃗| = 3, |c⃗| = 1.

Izračunajte (a⃗ − 2c⃗) · b⃗ − 2 a⃗ · c⃗.

3. Neka je ABCD paralelogram, E točka na stranici \overline{AB} takva da je 2|AE| = |EB|, F polovište dužine \overline{BC}, te neka je G točka u kojoj se sijeku DE i AF. U kojem omjeru točka G dijeli dužine \overline{DE} i \overline{AF}?

4. Dane su ravnine

π_{1} … 4x + 3y + z = 0
π_{2} … −2x + 3y + z = 0
π_{3} … −x + 6y + 2z = 9.

Odredite medusobni položaj pravaca p_{1} = π_{1} ∩ π_{3} i p_{2} = π_{2} ∩ π_{3}. Ukoliko se oni sijeku, odredite njihovo sjecište; ukoliko se ne sijeku, odredite njihovu udaljenost.

5. Odredite jednadžbu pravca koji prolazi kroz točku (3, −1, −1), siječe pravac

\frac{x + 1}{1} = \frac{y + 3}{5} = \frac{z − 6}{−3} i okomit je na njega.

Prvi zadatak vrijedi 10 bodova (svaki dio po 2 boda), a ostali zadaci po 5 bodova. Nije dozvoljeno korištenje tablica s formulama, kalkulatora niti drugih pomagala. Vrijeme rješavanja je 120 minuta. Ovaj papir treba predati zajedno s rješenjima zadataka!